by Cho hàm số $y = {x^3} + mx + 2$ có đồ thị $(C_m).$ Tìm m để đồ thị $(C_m)$ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
A. $m >-3$
B. $m <-3$
C. $m >3$
D. $m <3$
Hướng dẫn
Số giao điểm của đồ thị $(C_m)$ với trục hoành là số nghiệm của phương trình:
${x^3} + mx + 2 = 0.$
Ta có: $x=0$ không phải là nghiệm của phương trình.
Với $x\ne0$ ta có: $m = - {x^2} - \frac{2}{x}\,(*)$
Đặt $f(x) = - {x^2} - \frac{2}{x}$
Ta có: $f'(x) - - 2x + \frac{2}{{{x^2}}} = \frac{{ - 2({x^3} - 1)}}{{{x^2}}};\,\,f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Bảng biến thiên của f(x):
Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của hàm số f(x) và đường thẳng y=m.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với m>-3 thì phương trình (*) có 1 nghiệm duy nhất.
