by Cho hàm số \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in R\), \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} f’\left( x \right)\) với mọi \(x \in R\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \(4 < f\left( 3 \right) < 6\)
B. \(f\left( 3 \right) < 2\)
C. \(2 < f\left( 3 \right) < 4\)
D. \(f\left( 3 \right) > 6\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
+) Từ giải thiết suy ra \(\frac{{f’\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\)
+) Sử dụng phương pháp nguyên hàm 2 vế.
Lời giải chi tiết:
Theo bài ra ta có: \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} f’\left( x \right)\) (*).
Do \(f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in R\) nên từ (*) ta có \(\frac{{f’\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\).
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: \(\int\limits_{}^{} {\frac{{f’\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx} = \int\limits_{}^{} {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}dx} \)
\( \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( x \right)} \right|dx = 2\sqrt {x + 1} + C \Leftrightarrow \ln f\left( x \right) = 2\sqrt {x + 1} + C \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{2\sqrt {x + 1} + C}}\)
Ta có \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 1 = {e^{2 + C}} \Leftrightarrow 2 + C = 0 \Leftrightarrow C = – 2\).
Do đó \(f\left( x \right) = {e^{2\sqrt {x + 1} – 2}} \Rightarrow f\left( 3 \right) = {e^2} \approx 7,4 > 6\).
Chọn D.
