by Tính \(\int {{{{x^2} – 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} \)?
A. \({x \over {{x^2} + 1}} + C\)
B. \({{2x} \over {{x^2} + 1}} + C\)
C. \({{ – x} \over {{x^2} + 1}} + C\)
D. \({{ – 2x} \over {{x^2} + 1}} + C\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
Nhận xét \({{{x^2} – 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = {{2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} – {1 \over {{x^2} + 1}} \Rightarrow \int {{{{x^2} – 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} = \int {{{2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} – \int {{1 \over {{x^2} + 1}}dx} .\)
Sử dụng phương pháp tích phần từng phần để tính tích phân thứ nhất, đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = {{d\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({{{x^2} – 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = {{2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} – {1 \over {{x^2} + 1}} \Rightarrow \int {{{{x^2} – 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} = \int {{{2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} – \int {{1 \over {{x^2} + 1}}dx} \,\,\left( 1 \right)\)
Ta tính \(\int {{{2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} = \int {{{xd\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} \) bằng phương pháp tích phân từng phân như sau:
Đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = {{d\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = – {1 \over {{x^2} + 1}} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \int {{{xd\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} = – {x \over {{x^2} + 1}} + \int {{{dx} \over {{x^2} + 1}}} + C\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\int {{{{x^2} – 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} = – {x \over {{x^2} + 1}} + \int {{{dx} \over {{x^2} + 1}}} + C – \int {{1 \over {{x^2} + 1}}dx} = – {x \over {{x^2} + 1}} + C.\)
Chọn C.
