by Cho hai biểu thức \(P = \frac{2}{{\sqrt 2 – \sqrt x }} – \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt {2x} – x}}\) và \(Q = \frac{1}{{\sqrt x – \sqrt {x – 1} }} – \frac{{x – 3}}{{\sqrt {x – 1} – \sqrt 2 }};\) với \(x > 1\) và \(x \ne 2,\,x \ne 3.\)
1) Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 16.\)
2) Chứng minh rằng \(Q + \sqrt 2 = \sqrt x .\)
3) Tìm \(x\) để \(P.Q \ge 0.\)
A \(\begin{array}{l}1)\,\,\frac{1}{4}\\3)\,\,1 < x < 3\end{array}\)
B \(\begin{array}{l}1)\,\, – \frac{1}{2}\\3)\,\,1 < x < 5\end{array}\)
C \(\begin{array}{l}1)\,\,\frac{1}{2}\\3)\,\,1 < x < 4\end{array}\)
D \(\begin{array}{l}1)\,\, – \frac{1}{4}\\3)\,\,1 < x < 2\end{array}\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: D
Phương pháp giải:
1) Rút gọn \(P.\) Thay \(x = 16\left( {tmdk} \right)\) vào \(P\) để tính toán
2) Rút gọn \(Q\) bằng cách trục căn thức ở mẫu rồi tính \(Q + \sqrt 2 .\)
3) Đánh giá mẫu thức rồi suy ra điều kiện của tử thức
Lời giải chi tiết:
1) Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 16.\)
Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 2.\)
\(\begin{array}{l}P = \frac{2}{{\sqrt 2 – \sqrt x }} – \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt {2x} – x}}\\\,\,\,\, = \frac{2}{{\sqrt 2 – \sqrt x }} – \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt x \left( {\sqrt 2 – \sqrt x } \right)}}\\\,\,\, = \frac{{2\sqrt x – \sqrt x – 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt 2 – \sqrt x } \right)}}\\\,\, = \frac{{\sqrt x – 2}}{{\sqrt x \left( {2 – \sqrt x } \right)}} = – \frac{1}{{\sqrt x }}.\end{array}\)
Thay \(x = 16\,\,\,\,\left( {tmdk} \right)\) vào \(P = – \frac{1}{{\sqrt x }}\) ta được :
\(P = \frac{{ – 1}}{{\sqrt {16} }} = – \frac{1}{4}.\)
Vậy với \(x = 16\) thì \(P = – \frac{1}{4}.\)
2) Chứng minh rằng \(Q + \sqrt 2 = \sqrt x .\)
Điều kiện: \(x > 1,\,\,x \ne 2,\,\,\,x \ne 3.\)
\(\begin{array}{l}Q = \frac{1}{{\sqrt x – \sqrt {x – 1} }} – \frac{{x – 3}}{{\sqrt {x – 1} – \sqrt 2 }}\\\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x + \sqrt {x – 1} } \right)}}{{\left( {\sqrt x – \sqrt {x – 1} } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {x – 1} } \right)}} – \frac{{\left( {x – 3} \right)\left( {\sqrt {x – 1} + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt {x – 1} – \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt {x – 1} + \sqrt 2 } \right)}}\\\,\,\, = \frac{{\sqrt x + \sqrt {x – 1} }}{{x – \left( {x – 1} \right)}} – \frac{{\left( {x – 3} \right)\left( {\sqrt {x – 1} + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {x – 1} \right) – 2}}\\\,\,\, = \sqrt x + \sqrt {x – 1} – \left( {\sqrt {x – 1} + \sqrt 2 } \right)\\\,\,\, = \sqrt x – \sqrt 2 .\end{array}\)
Từ đó \(Q + \sqrt 2 = \sqrt x – \sqrt 2 + \sqrt 2 = \sqrt x \)
Vậy \(Q + \sqrt 2 = \sqrt x .\)
3) Tìm \(x\) để \(P.Q \ge 0.\)
Ta có: \(P = – \frac{1}{{\sqrt x }};Q = \sqrt x – \sqrt 2 \) với \(x > 1;x \ne 2;x \ne 3\)
Nên \(M = P.Q = \frac{{\left( {\sqrt x – \sqrt 2 } \right) \cdot \left( { – 1} \right)}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt 2 – \sqrt x }}{{\sqrt x }}\)
Để \(M \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 – \sqrt x }}{{\sqrt x }} \ge 0\)
Với \(x > 1\) và \(x \ne 2,\,x \ne 3\) thì \(\sqrt x > 0\)
Nên \(M \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 – \sqrt x }}{{\sqrt x }} \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 – \sqrt x \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \sqrt x \le \sqrt 2 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2\)
Kết hợp điều kiện \(x > 1\) và \(x \ne 2,\,x \ne 3\) ta có \(1 < x < 2\)
Vậy \(1 < x < 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D.
