by Cho các số phức \({{z}_{1}}=-\,2+i,\,\,{{z}_{2}}=2+i\) và số phức \(z\) thỏa mãn \({{\left| z-{{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=16.\) Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|.\) Giá trị biểu thức \({{M}^{2}}-{{m}^{2}}\) bằng
A.
15.
B.
7.
C.
8.
D. 11.
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
Đặt \(z=x+yi,\) dựa vào giả thiết và biểu thức P đưa về tìm max – min của biểu thức chứa hai biến, sử dụng lượng giác hóa và bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm max – min
Lời giải chi tiết:
Đặt \(z=x+yi\,\,\,\,\left( x,\,\,y\in \mathbb{R} \right),\) khi đó \({{\left| z-{{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=16\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=16\)
\(\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+4+2{{y}^{2}}-4y+2=16\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y-3=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} x=2\sin t \\ y=2\cos t+1 \\ \end{align} \right..\)
Khi đó \({{\left| z \right|}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4{{\sin }^{2}}t+{{\left( 2\cos t+1 \right)}^{2}}=4\cos t+5\) mà \(\cos t\in \left[ -\,1;1 \right]\)\(\Rightarrow \,\,4\cos t+5\in \left[ 1;9 \right].\)
Vậy \(1\le \left| z \right|\le 3\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\left\{ \begin{align} M=3 \\ m=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{M}^{2}}-{{m}^{2}}=8.\)
Chọn C
