by Cho các biểu thức:
\(A = 1 – \frac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x – 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 – \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{x – 5\sqrt x + 6}}\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.\)
a) Hãy tính giá trị của A khi \(x = 16\).
b) Rút gọn B.
c) Xét biểu thức \(T = \frac{A}{B}\) . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T.
A \(a)\,\,A = \frac{1}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\,B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\,\,\min T = 0\)
B \(a)\,\,A = \frac{1}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\,B = \frac{1}{{\sqrt x – 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\,\,\min T = – 2\)
C \(a)\,\,A = \frac{6}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\,B = \frac{1}{{\sqrt x – 3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\,\,\min T = – 2\)
D \(a)\,\,A = \frac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\,B = \frac{1}{{\sqrt x – 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\,\,\min T = – 3\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: B
Phương pháp giải:
+ Quy đồng và rút gọn phân thức
+ Tính và đưa T về dạng \(T = a + \frac{b}{c}\) với a, b là các số nguyên, c là ciểu thức chứa x.Từ điều kiện của x để tìm giá trị nhỏ nhất của T
Lời giải chi tiết:
a) Hãy tính giá trị của A khi \(x = 16\).
Tại \(x = 16\) thì \(A = 1 – \frac{{\sqrt {16} }}{{1 + \sqrt {16} }} = 1 – \frac{4}{{1 + 4}} = 1 – \frac{4}{5} = \frac{1}{5}\)
b) Rút gọn B.
\(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x – 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 – \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{x – 5\sqrt x + 6}}\\\;\;\; = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x – 2}} – \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x – 3}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right) – \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right) + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{x – 9 – x + 4 + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x – 3}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt x – 2}}\end{array}\)
c) Xét biểu thức \(T = \frac{A}{B}\) . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T.
\(A = 1 – \frac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} = \frac{{1 + \sqrt x – \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} = \frac{1}{{1 + \sqrt x }}\)
\(T = \frac{A}{B} = \frac{1}{{1 + \sqrt x }}:\frac{1}{{\sqrt x – 2}} = \frac{{\sqrt x – 2}}{{1 + \sqrt x }} = \frac{{\sqrt x + 1 – 3}}{{1 + \sqrt x }} = 1 – \frac{3}{{1 + \sqrt x }}\)
Do \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow \frac{3}{{1 + \sqrt x }} \le \frac{3}{1} = 3 \Rightarrow T = 1 – \frac{3}{{1 + \sqrt x }} \ge 1 – 3 = – 2\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x = 0\)
Vậy \(\min T = – 2\) khi \(x = 0.\)
Chọn B.
