Cho biểu thức \(A = \left( {1 – {{\sqrt x } \over {1 + \sqrt x }}} \right):\left( {{{\sqrt x + 3} \over {\sqrt x – 2}} + {{\sqrt x + 2} \over {3 – \sqrt x }} + {{\sqrt x + 2} \over {x – 5\sqrt x + 6}}} \right)\) 1.Rút gọn \(

Cho biểu thức

\(A = \left( {1 – {{\sqrt x } \over {1 + \sqrt x }}} \right):\left( {{{\sqrt x + 3} \over {\sqrt x – 2}} + {{\sqrt x + 2} \over {3 – \sqrt x }} + {{\sqrt x + 2} \over {x – 5\sqrt x + 6}}} \right)\)

1.Rút gọn \(A.\)

2.Tìm \(x\) để \(A < 0.\)

A 1) \(A = {{\sqrt x + 2} \over {\sqrt x + 1}}\);

2) \(0 \le x < 9\) thì \(A < 0.\)

B 1) \(A = {{\sqrt x – 2} \over {\sqrt x – 1}}\);

2) \(0 \le x < 4\) thì \(A < 0.\)

C 1) \(A = {{\sqrt x – 2} \over {\sqrt x + 1}}\);

2) \(0 \le x < 4\) thì \(A < 0.\)

D 1) \(A = {{\sqrt x – 2} \over {\sqrt x – 1}}\);

2) \(0 \le x < 9\) thì \(A < 0.\)

Hướng dẫn Chọn đáp án là: C

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức xác định.

+) Giải bất phương trình \(A < 0\) để tìm \(x,\) đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn biểu thức \(A.\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x – 2 \ne 0\\3 – \sqrt x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\\x \ne 9\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}A = \left( {1 – \frac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x – 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 – \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{x – 5\sqrt x + 6}}} \right)\\ = \frac{{1 + \sqrt x – \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}:\left( {\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x – 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 – \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}} \right)\\ = \frac{1}{{1 + \sqrt x }}:\left( {\frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}} – \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}} \right)\\ = \frac{1}{{1 + \sqrt x }}:\frac{{x – 9 – x + 4 + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}\\ = \frac{1}{{1 + \sqrt x }}.\frac{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}{{\sqrt x – 3}}\\ = \frac{{\sqrt x – 2}}{{\sqrt x + 1}}\end{array}\)

b) Tìm \(x\) để \(A < 0.\)

Với \(x \ge 0;x \ne 9;x \ne 4\) ta có: \(A = \frac{{\sqrt x – 2}}{{\sqrt x + 1}}\)

Ta có: \(A < 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x – 2}}{{\sqrt x + 1}} < 0\).

Vì \(\sqrt x + 1 > 0,\forall x \ge 0 \Rightarrow A < 0 \Leftrightarrow \sqrt x – 2 < 0 \Leftrightarrow \sqrt x < 2 \Leftrightarrow x < 4\)

Kết hợp với điều kiện \(x \ge 0;x \ne 9;x \ne 4\) ta được: \(0 \le x < 4\) thì \(A < 0.\)