by Cho biểu thức \(P = \left( {{{2\sqrt x } \over {\sqrt x + 3}} + {{\sqrt x } \over {\sqrt x – 3}} – {{3x + 3} \over {x – 9}}} \right):\left( {{{2\sqrt x – 2} \over {\sqrt x – 3}} – 1} \right)\)
a. Rút gọn \(P.\)
b. Tính giá trị của \(P\) biết \(x = {{3 – \sqrt 5 } \over 2}\)
c. Tìm \(x\) để \(P < – {1 \over 2}\)
A a) \(P = {{ 3} \over {\sqrt x + 3}}\);
b) \(P={{\left( {\sqrt 5 – 5} \right)} \over {10}}\)
c) \(0 \le x < 9\) thì \(P < {{ – 1} \over 2}\)
B a) \(P = {{ – 3} \over {\sqrt x – 3}}\);
b) \(P={{3\left( {\sqrt 5 – 5} \right)} \over {10}}\)
c) \( x < 9\) thì \(P < {{ – 1} \over 2}\)
C a) \(P = {{ – 3} \over {\sqrt x + 3}}\);
b) \(P={{3\left( {\sqrt 5 + 5} \right)} \over {20}}\)
c) \(0 \le x < 9\) thì \(P < {{ – 1} \over 2}\)
D a) \(P = {{ – 3} \over {\sqrt x + 3}}\);
b) \(P={{3\left( {\sqrt 5 – 5} \right)} \over {10}}\)
c) \(0 \le x < 9\) thì \(P < {{ – 1} \over 2}\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: D
Phương pháp giải:
+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.
+) Thay giá trị \(x\,\,\left( {tmdk} \right)\) vào biểu thức đã được rút gọn và tính giá trị của biểu thức.
+) Giải bất phương trình \(P < – \frac{1}{2},\) tìm \(x\) sau đó đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Rút gọn \(P.\)
Điều kiện xác định: \(x \ge 0,x \ne 9\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 3}} – \frac{{3x + 3}}{{x – 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x – 2}}{{\sqrt x – 3}} – 1} \right)\\ = \left( {\frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x – 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}} – \frac{{3x + 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x – 2}}{{\sqrt x – 3}} – \frac{{\sqrt x – 3}}{{\sqrt x – 3}}} \right)\\ = \frac{{2x – 6\sqrt x + x + 3\sqrt x – 3x – 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}:\frac{{2\sqrt x – 2 – \sqrt x + 3}}{{\sqrt x – 3}}\\ = \frac{{ – 3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x – 3}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \frac{{ – 3}}{{\sqrt x + 3}}.\end{array}\)
b) Tính giá trị của biểu thức \(P\) biết \(x = \frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}\)
Ta có: \(x = \frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\left( {tmdk} \right) \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} = \frac{{\sqrt {6 – 2\sqrt 5 } }}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 – 1} \right)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt 5 – 1}}{2}\)
Khi đó ta có: \(P = \frac{{ – 3}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{ – 3}}{{\frac{{\sqrt 5 – 1}}{2} + 3}} = \frac{{ – 6}}{{\sqrt 5 + 5}} = \frac{{3\left( {\sqrt 5 – 5} \right)}}{{10}}\)
c) Tìm \(x\) để \(P < \frac{{ – 1}}{2}\)
Điều kiện xác định: \(x \ge 0,x \ne 9\)
Ta có: \(P = \frac{{ – 3}}{{\sqrt x + 3}} < \frac{{ – 1}}{2} \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 3}} > \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{6}{{2\left( {\sqrt x + 3} \right)}} – \frac{{\sqrt x + 3}}{{2\left( {\sqrt x + 3} \right)}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{3 – \sqrt x }}{{2\left( {\sqrt x + 3} \right)}} > 0\)
Với \(x \ge 0,x \ne 9\) ta có: \(2\left( {\sqrt x + 3} \right) > 0\) .
Khi đó để \(P < \frac{{ – 1}}{2} \Leftrightarrow 3 – \sqrt x > 0 \Leftrightarrow \sqrt x < 3 \Leftrightarrow x < 9.\)
Vậy kết hợp điều kiện ta được: \(0 \le x < 9\) thì \(P < \frac{{ – 1}}{2}.\)
