by Cho biểu thức \( P = {{15\sqrt x – 11} \over {x + 2\sqrt x – 3}} + {{3\sqrt x – 2} \over {1 – \sqrt x }} – {{2\sqrt x + 3} \over {\sqrt x + 3}}\)
a) Rút gọn \(P.\)
b) Tìm các giá trị của \(x\) để \( P = {1 \over 2}.\)
c) Chứng minh \( P \le {2 \over 3}.\)
A a) \(P=\frac{-5\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}.\)
b) \(x=\frac{1}{121}.\)
c) \( x \ge 0, \, x \ne 1\)
B a) \(P=\frac{-5\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}.\)
b) \(x=\frac{1}{11}.\)
c) \( x \ge 0, \, x \ne 1\)
C a) \(P=\frac{-5\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}.\)
b) \(x=\frac{1}{121}.\)
c) \( x > 0, \, x \ne 1\)
D a) \(P=\frac{-5\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}.\)
b) \(x=\frac{1}{11}.\)
c) \( x > 0, \, x \ne 1\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: A
Phương pháp giải:
+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.
+) Giải phương trình \(P = \frac{1}{2},\) tìm \(x\) rồi đối chiều với điều kiện sau đó kết luận.
+) Dựa vào điều kiện của \(x\) để chứng mình \(P \le \frac{2}{3}.\)
Lời giải chi tiết:
\(P = \frac{{15\sqrt x – 11}}{{x + 2\sqrt x – 3}} + \frac{{3\sqrt x – 2}}{{1 – \sqrt x }} – \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}}\)
a) Rút gọn \(P.\)
Điều kiện \(x \ge 0,x \ne 1\)
\(\begin{array}{l}P = \frac{{15\sqrt x – 11}}{{x + 2\sqrt x – 3}} + \frac{{3\sqrt x – 2}}{{1 – \sqrt x }} – \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}}\\ = \frac{{15\sqrt x – 11}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} – \frac{{3\sqrt x – 2}}{{\sqrt x – 1}} – \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}}\\ = \frac{{15\sqrt x – 11}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} – \frac{{\left( {3\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} – \frac{{\left( {2\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \frac{{15\sqrt x – 11 – \left( {3x + 9\sqrt x – 2\sqrt x – 6} \right) – \left( {2x – 2\sqrt x + 3\sqrt x – 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \frac{{15\sqrt x – 11 – 3x – 7\sqrt x + 6 – 2x – \sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \frac{{ – 5x + 7\sqrt x – 2}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\left( { – 5\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{ – 5\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}.\end{array}\)
b) Tìm các giá trị của \(x\) để \(P = \frac{1}{2}.\)
Với điều kiện \(x \ge 0,x \ne 1.\) ta có:
\(\begin{array}{l}P = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{ – 5\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\left( { – 5\sqrt x + 2} \right) = \sqrt x + 3\\ \Leftrightarrow – 10\sqrt x + 4 – \sqrt x – 3 = 0\\ \Leftrightarrow – 11\sqrt x = – 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{121}}\,\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)
Vậy \(x = \frac{1}{{121}}\) thì \(P = \frac{1}{2}.\)
c) Chứng minh \(P \le \frac{2}{3}\)
Ta có: \(P = \frac{{ – 5\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}\)
Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) ta có: \(\sqrt x + 3 \ge 3\)
\(5\sqrt x \ge 0 \Rightarrow – 5\sqrt x \le 0 \Rightarrow – 5\sqrt x + 2 \le 2\)
Khi đó ta có: \(P \le \frac{2}{3}\)
Vậy \(x \ge 0,x \ne 1\) thì \(P \le \frac{2}{3}.\)
