Tháng Ba 29, 2024

Cho \( A = \left( {{{x – y} \over {\sqrt x – \sqrt y }} + {{\sqrt {{x^3}} – \sqrt {{y^3}} } \over {y – x}}} \right):{{{{\left( {\sqrt x – \sqrt y } \right)}^2} + \sqrt {xy} } \over {\sqrt x + \sqrt y }}\) Với \( x \ge 0, \, y \ge 0,x \ne y.\) a) Rút gọn \(

Cho \( A = \left( {{{x – y} \over {\sqrt x – \sqrt y }} + {{\sqrt {{x^3}} – \sqrt {{y^3}} } \over {y – x}}} \right):{{{{\left( {\sqrt x – \sqrt y } \right)}^2} + \sqrt {xy} } \over {\sqrt x + \sqrt y }}\) Với \( x \ge 0, \, y \ge 0,x \ne y.\)

a) Rút gọn \(A.\)

b) Chứng minh rằng \(A \geq 0.\)

A \(A={{\sqrt {xy} } \over {x + \sqrt {xy} + y}}.\)

B \(A={{\sqrt {xy} } \over {x – \sqrt {xy} + y}}.\)

C \(A={{xy } \over {x – \sqrt {xy} +y}}.\)

D \(A={{xy } \over {x + \sqrt {xy} +y}}.\)

Hướng dẫn Chọn đáp án là: B

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Dựa vào điều kiện của \(x\) để chứng mình \(A \ge 0.\)

Lời giải chi tiết:

a) Với \(x \ge 0,y \ge 0,x \ne y\). Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{x – y}}{{\sqrt x – \sqrt y }} + \frac{{\sqrt {{x^3}} – \sqrt {{y^3}} }}{{y – x}}} \right):\frac{{{{\left( {\sqrt x – \sqrt y } \right)}^2} + \sqrt {xy} }}{{\sqrt x + \sqrt y }}\\ = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x – \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt x – \sqrt y }} – \frac{{\left( {\sqrt x – \sqrt y } \right)\left( {x + \sqrt {xy} + y} \right)}}{{\left( {\sqrt x – \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}} \right):\frac{{{{\left( {\sqrt x – \sqrt y } \right)}^2} + \sqrt {xy} }}{{\sqrt x + \sqrt y }}\\ = \left( {\sqrt x + \sqrt y – \frac{{x + \sqrt {xy} + y}}{{\sqrt x + \sqrt y }}} \right):\frac{{x – \sqrt {xy} + y}}{{\sqrt x + \sqrt y }}\\ = \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} – x – \sqrt {xy} – y}}{{\sqrt x + \sqrt y }}.\frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{x – \sqrt {xy} + y}}\\ = \frac{{\sqrt {xy} }}{{x – \sqrt {xy} + y}}\end{array}\)

b) Ta có: \(x \ge 0,y \ge 0,x \ne y\) thì \(\sqrt {xy} \ge 0;x – \sqrt {xy} + y = {\left( {\sqrt x – \sqrt y } \right)^2} + \sqrt {xy} \ge 0\) .

Vậy \(A \ge 0\) với \(x \ge 0,y \ge 0,x \ne y\).