Tháng Ba 29, 2024

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x – \sqrt {x – 1} }} – \frac{{x – 3}}{{\sqrt {x – 1} – \sqrt 2 }}} \right)\left( {\frac{2}{{\sqrt 2 – \sqrt x }} – \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt {2x} – x}}} \right)\). Tính giá trị của P với \(x = 3 + 2\sqrt 2 \). A \(P = – \sqrt 5 + 1\). B \(P = – \sqrt 2 + 1\). C \(P = – \sqrt 2 + 2\). D \(P = – \sqrt 7 + 1\).

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x – \sqrt {x – 1} }} – \frac{{x – 3}}{{\sqrt {x – 1} – \sqrt 2 }}} \right)\left( {\frac{2}{{\sqrt 2 – \sqrt x }} – \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt {2x} – x}}} \right)\). Tính giá trị của P với \(x = 3 + 2\sqrt 2 \).

A \(P = – \sqrt 5 + 1\).

B \(P = – \sqrt 2 + 1\).

C \(P = – \sqrt 2 + 2\).

D \(P = – \sqrt 7 + 1\).

Hướng dẫn Chọn đáp án là: B

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

+) Sử dụng biểu thức liên hợp.

+) Đặt nhân tử chung.

+) Rút gọn các phân thức trước khi tiến hành tính toán.

Lời giải chi tiết:

Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi : \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x > 0\\\sqrt {x – 1} \ge 0\\\sqrt 2 – \sqrt x \ne 0\\\sqrt {x – 1} – \sqrt 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ge 1\\x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right.\)

ĐKXĐ: \(x \ge 1;x \ne 2;x \ne 3\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x – \sqrt {x – 1} }} – \frac{{x – 3}}{{\sqrt {x – 1} – \sqrt 2 }}} \right)\left( {\frac{2}{{\sqrt 2 – \sqrt x }} – \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt {2x} – x}}} \right)\\P = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x + \sqrt {x – 1} } \right)}}{{\left( {\sqrt x – \sqrt {x – 1} } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {x – 1} } \right)}} – \frac{{\left( {x – 3} \right)\left( {\sqrt {x – 1} + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt {x – 1} – \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt {x – 1} + \sqrt 2 } \right)}}} \right]\left[ {\frac{2}{{\sqrt 2 – \sqrt x }} – \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt x \left( {\sqrt 2 – \sqrt x } \right)}}} \right]\\P = \left[ {\frac{{\sqrt x + \sqrt {x – 1} }}{{x – \left( {x – 1} \right)}} – \frac{{\left( {x – 3} \right)\left( {\sqrt {x – 1} + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {x – 1} \right) – 2}}} \right].\frac{{2\sqrt x – \sqrt x – \sqrt 2 }}{{\sqrt x \left( {\sqrt 2 – \sqrt x } \right)}}\\P = \left( {\frac{{\sqrt x + \sqrt {x – 1} }}{{x – x + 1}} – \frac{{\left( {x – 3} \right)\left( {\sqrt {x – 1} + \sqrt 2 } \right)}}{{x – 3}}} \right).\frac{{ – \left( {\sqrt 2 – \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt 2 – \sqrt x } \right)}}\\P = \left( {\sqrt x + \sqrt {x – 1} – \sqrt {x – 1} – \sqrt 2 } \right).\frac{{ – 1}}{{\sqrt x }} = \frac{{\left( {\sqrt x – \sqrt 2 } \right).\left( { – 1} \right)}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt 2 – \sqrt x }}{{\sqrt x }}\end{array}\)

Ta có: \(x = 3 + 2\sqrt 2 = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 2 + 1} \right| = \sqrt 2 + 1\,\,\left( {Do\,\,\sqrt 2 + 1 > 0} \right)\)

Thay \(\sqrt x = \sqrt 2 + 1\) vào biểu thức \(P = \frac{{\sqrt 2 – \sqrt x }}{{\sqrt x }}\), ta có: \(P = \frac{{\sqrt 2 – \sqrt 2 – 1}}{{\sqrt 2 + 1}} = \frac{{ – 1}}{{\sqrt 2 + 1}} = – \sqrt 2 + 1\).

Vậy khi \(x = 3 + 2\sqrt 2 \) thì \(P = – \sqrt 2 + 1\).