Tháng Ba 28, 2024

Cho biểu thức \(Q = \left( {\frac{1}{{\sqrt x – 1}} + \frac{2}{{x – 1}}} \right):\left( {\frac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} – \frac{{1 – \sqrt x }}{{\sqrt x – x}}} \right)\) với \(x > 0\), \(x \ne 1\) . a) Rút gọn biểu thức Q. b) Tìm các giá trị của x để \(Q = – 1\) A \(\begin{array}{l} a)\,\,Q = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\\ b)\,\,x = 2 \end{array}\) B \(\begin{array}{l} a)\,\,Q = \frac{{\sqrt x + 3}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\\ b)\,\,x \in \emptyset \end{array}\) C \(\begin{array}{l} a)\,\,Q = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\\ b)\,\,x \in \emptyset \end{array}\) D \(\begin{array}{l} a)\,\,Q = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\\ b)\,\,x \in R \end{array}\)

Cho biểu thức \(Q = \left( {\frac{1}{{\sqrt x – 1}} + \frac{2}{{x – 1}}} \right):\left( {\frac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} – \frac{{1 – \sqrt x }}{{\sqrt x – x}}} \right)\) với \(x > 0\), \(x \ne 1\) .

a) Rút gọn biểu thức Q.

b) Tìm các giá trị của x để \(Q = – 1\)

A \(\begin{array}{l}

a)\,\,Q = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\\

b)\,\,x = 2

\end{array}\)

B \(\begin{array}{l}

a)\,\,Q = \frac{{\sqrt x + 3}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\\

b)\,\,x \in \emptyset

\end{array}\)

C \(\begin{array}{l}

a)\,\,Q = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\\

b)\,\,x \in \emptyset

\end{array}\)

D \(\begin{array}{l}

a)\,\,Q = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\\

b)\,\,x \in R

\end{array}\)

Hướng dẫn Chọn đáp án là: C

Phương pháp giải:

– Nhân liên hợp

– Quy đồng mẫu số

– Giải và biện luận phương trình

Lời giải chi tiết:

a) Ta có \(Q = \left( {\frac{1}{{\sqrt x – 1}} + \frac{2}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} – \frac{{1 – \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {1 – \sqrt x } \right)}}} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right) + 2}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}:\left( {\sqrt x – \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}:\frac{{x – 1}}{{\sqrt x }}\\ = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x }}{{x – 1}}\\ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}.}}\end{array}\)

Vậy \(Q = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\)

b. Ta thấy biểu thức \(Q = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\) luôn lớn hơn 0 với \(\forall x > 0,x \ne 1\)

\( \Rightarrow \)\(Q = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = – 1\) (vô lý)

Vậy không tồn tại giá trị nào của x để \(Q = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = – 1.\)