by Cho biểu thức \( A = \sqrt {x + 4\sqrt {x – 4} } + \sqrt {x – 4\sqrt {x – 4} } \)
a) Rút gọn \(A.\)
b) Tìm \(x\) để \(A = 4.\)
A a) \( A = \left\{ \matrix{2\sqrt {x – 4} \,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \ge 8 \hfill \cr4\,\,\,\,khi\,\,\,4 \le x < 8. \hfill \cr} \right.\)
b) \( x = 8\)
B a) \( A = \left\{ \matrix{2\sqrt {x – 4} \,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \ge 8 \hfill \cr4\,\,\,\,khi\,\,\,4 \le x < 8. \hfill \cr} \right.\)
b) \( 4 < x \le 8\)
C a) \( A = \left\{ \matrix{2\sqrt {x – 4} \,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \ge 8 \hfill \cr4\,\,\,\,khi\,\,\,4 \le x < 8. \hfill \cr} \right.\)
b) \( x \geq 8\)
D a) \( A = \left\{ \matrix{2\sqrt {x – 4} \,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \ge 8 \hfill \cr 4\,\,\,\,khi\,\,\,4 \le x < 8. \hfill \cr} \right.\)
b) \( 4 \le x \le 8\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: D
Phương pháp giải:
+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.
+) Giải phương trình \(A = 4,\) tìm \(x\) rồi đối chiều với điều kiện sau đó kết luận.
Lời giải chi tiết:
\(A = \sqrt {x + 4\sqrt {x – 4} } + \sqrt {x – 4\sqrt {x – 4} } \)
a) Rút gọn \(A.\)
Điều kiện \(x \ge 4\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {x + 4\sqrt {x – 4} } + \sqrt {x – 4\sqrt {x – 4} } \\ = \sqrt {4 + x – 4 + 4\sqrt {x – 4} } + \sqrt {4 + x – 4 – 4\sqrt {x – 4} } \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x – 4} + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x – 4} – 2} \right)}^2}} \\ = \left| {\sqrt {x – 4} + 2} \right| + \left| {\sqrt {x – 4} – 2} \right|\\ = \sqrt {x – 4} + 2 + \left| {\sqrt {x – 4} – 2} \right|\end{array}\)
TH1: \(\sqrt {x – 4} – 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 8.\) Ta có:\(A = \sqrt {x – 4} + 2 + \sqrt {x – 4} – 2 = 2\sqrt {x – 4} \)
TH2: \(\sqrt {x – 4} – 2 < 0 \Leftrightarrow x < 8\). Ta có: \(A = \sqrt {x – 4} + 2 – \sqrt {x – 4} + 2 = 4\)
Vậy \(x \ge 8\) thì \(A = 2\sqrt {x – 4} \)
Với \(4 \le x < 8\) thì \(A = 4.\)
b) Tìm \(x\) để \(A = 4.\)
Theo câu a) ta có TH1: Với \(4 \le x < 8\) thì \(A = 4.\)
Với TH2: \(x \ge 8\)
\(A = 4 \Leftrightarrow 2\sqrt {x – 4} = 4 \Leftrightarrow x – 4 = 4 \Leftrightarrow x = 8\)
Vậy \(x = 8\) thì \(A = 4.\)
Kết hợp 2 trường hợp ta được \(4 \le x \le 8\) thì \(A = 4.\)
