Cho biểu thức \(P=\left( \frac{x-1}{3x+{{(x-1)}^{2}}}-\frac{1-3x+{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-1}-\frac{1}{x-1} \right):\frac{{{x}^{2}}+1}{1-x}\) a) Rút gọn \(P\) b) Tính giá trị của $x$ để \(\frac{1}{P}\) đạt GTNN và tìm giá trị đó.

Cho biểu thức \(P=\left( \frac{x-1}{3x+{{(x-1)}^{2}}}-\frac{1-3x+{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-1}-\frac{1}{x-1} \right):\frac{{{x}^{2}}+1}{1-x}\)

a) Rút gọn \(P\)

b) Tính giá trị của $x$ để \(\frac{1}{P}\) đạt GTNN và tìm giá trị đó.

Phương pháp giải:

Phương pháp:

– Tìm ĐKXĐ của phân thức;

– Cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số, và thu gọn.

– Biến đổi phân thức thu gọn được và đánh giá.

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

\(P=\left( \frac{x-1}{3x+{{(x-1)}^{2}}}-\frac{1-3x+{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-1}-\frac{1}{x-1} \right):\frac{{{x}^{2}}+1}{1-x}\) (ĐK: \(x\ne 1\))

\(\begin{align} & P=\left( \frac{x-1}{3x+{{(x-1)}^{2}}}-\frac{1-3x+{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-1}-\frac{1}{x-1} \right):\frac{{{x}^{2}}+1}{1-x} \\& =\left( \frac{x-1}{3x+{{x}^{2}}-2x+1}-\frac{1-3x+{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-1}-\frac{1}{x-1} \right):\frac{{{x}^{2}}+1}{1-x} \\ & =\left( \frac{x-1}{{{x}^{2}}+x+1}-\frac{1-3x+{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-1}-\frac{1}{x-1} \right).\frac{1-x}{{{x}^{2}}+1} \\ & =\frac{{{x}^{2}}-2x+1-1+3x-{{x}^{2}}-{{x}^{2}}-x-1}{(x-1)({{x}^{2}}+x+1)}.\frac{1-x}{{{x}^{2}}+1} \\ & =\frac{-{{x}^{2}}-1}{(x-1)({{x}^{2}}+x+1)}.\frac{1-x}{{{x}^{2}}+1} \\ & =\frac{1}{{{x}^{2}}+x+1} \\\end{align}\)

b) Ta có: \(P=\frac{1}{{{x}^{2}}+x+1}\Rightarrow \frac{1}{P}={{x}^{2}}+x+1={{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}\forall x\ne 1\)

Vậy GTNN của P là \(\frac{3}{4}\) khi \(x=-\frac{1}{2}.\)