by Cho biểu thức \(P=\frac{10x}{{{x}^{2}}+3x-4}-\frac{2x-3}{x+4}+\frac{x+1}{1-x}\)
a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi x = – 1.
c) Tìm \(x\in \mathbb{Z}\) để \(P+1\in \mathbb{Z}\).
Phương pháp giải:
a) Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức: ĐKXĐ của phân thức; cộng, trừ phân thức đại số, phân tích đa thức thành nhân tử và thu gọn.
b) Phương pháp giải:
+) Xét xem giá trị của x có thỏa mãn ĐKXĐ hay không.
+) Nếu x thỏa mãn thì thay giá trị của x vào biểu thức P vừa rút gọn được và tính giá trị biểu thức.
c) Phương pháp giải:
+) Tìm ĐKXĐ của P.
+) Tách B về dạng \(P=a+\frac{b}{MS},\,\,a,\,\,b\in Z.\)
+) Đề \(P\in Z\) thì \(\frac{b}{MS}\in Z\Leftrightarrow MS\in U\left( b \right).\)
+) Tìm U(b) sau đó lập bảng, giải phương trình tìm x.
+) Xét xem các giá trị của x có thỏa mãn ĐKXĐ của bài toán hay không rồi kết luận x.
Lời giải chi tiết:
Lời giải:
a) ĐK:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x – 4 \ne 0\\x + 4 \ne 0\\1 – x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x – 1} \right)\left( {x + 4} \right) \ne 0\\x \ne 1\\x \ne – 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne – 4\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}P = \frac{{10x}}{{{x^2} + 3x – 4}} – \frac{{2x – 3}}{{x + 4}} + \frac{{x + 1}}{{1 – x}}\\\,\,\,\, = \frac{{10x}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 4} \right)}} – \frac{{2x – 3}}{{x + 4}} – \frac{{x + 1}}{{x – 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{10x – (2x – 3)(x – 1) – (x + 1)(x + 4)}}{{(x – 1)(x + 4)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{10x – 2{x^2} + 2x + 3x – 3 – {x^2} – 4x – x – 4}}{{(x – 1)(x + 4)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ – 3{x^2} + 10x – 7}}{{(x – 1)(x + 4)}} = – \frac{{ – (x – 1)(3x – 7)}}{{(x – 1)(x + 4)}} = \frac{{ – 3x + 7}}{{x + 4}}.\end{array}\)
b)
Ta có: \(P=\frac{-3x+7}{x+4}\)
Khi \(x=-1(t/m)\Rightarrow P=\frac{-3.(-1)+7}{-1+4}=\frac{10}{3}\)
Vậy khi \(x=-1\) thì \(P=\frac{10}{3}.\)
c)
\(P+1=\frac{-3x+7}{x+4}+1=\frac{-3x+7+x+4}{x+4}=\frac{-2x+11}{x+4}=-2+\frac{19}{x+4}\)
\(x\in Z\) để \(P+1\in Z\Rightarrow \left( x+4 \right)\in U\left( 19 \right)=\left\{ \pm 1;\,\pm 19 \right\}\)
Vậy \(x\in \left\{ -25;-5;-3;15 \right\}\)thì \(P+1\in Z\).
