Cho \(x;y;z\ne 0\) thỏa mãn \(x+y+z=0\). Tính giá trị biểu thức: \(A=\frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}+\frac{yz}{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-{{x}^{2}}}+\frac{zx}{{{z}^{2}}+{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}\).

Cho \(x;y;z\ne 0\) thỏa mãn \(x+y+z=0\). Tính giá trị biểu thức:

\(A=\frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}+\frac{yz}{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-{{x}^{2}}}+\frac{zx}{{{z}^{2}}+{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}\).

Phương pháp giải:

Phương pháp giải : Phát hiện tính quy luật của biểu thức. Từ đó đưa bài toán ban đầu về bài toán đơn gian hơn. Và sử dụng kỹ năng tính toán thường gặp.

Lời giải chi tiết:

Lời giải :

Từ \(x+y+z=0\Rightarrow x+y=-z\Rightarrow {{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}={{z}^{2}}\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-{{z}^{2}}=-2xy\).

Tương tự ta có : \(\left\{ \begin{align} & {{y}^{2}}+{{z}^{2}}-{{x}^{2}}=-2yz \\ & {{z}^{2}}+{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=-2zx \\ \end{align} \right.\)

Do đó: \(A=\frac{xy}{-2xy}+\frac{yz}{-2yz}+\frac{zx}{-2zx}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\)

Vậy \(A=-\frac{3}{2}.\)