Tháng Sáu 8, 2023

Cho biểu thức: \(P = \left( {\frac{{x + 1}}{x} – \frac{1}{{1 – x}} + \frac{{2 – {x^2}}}{{{x^2} – x}}} \right):\frac{x}{{x – 1}}\) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P.\)

Cho biểu thức: \(P = \left( {\frac{{x + 1}}{x} – \frac{1}{{1 – x}} + \frac{{2 – {x^2}}}{{{x^2} – x}}} \right):\frac{x}{{x – 1}}\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P.\)

A. \( – \frac{1}{2}\)

B. \( – \frac{1}{4}\)

C. \( – 1\)

D. \( \frac{1}{2}\)

Hướng dẫn Chọn đáp án là: B

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho \({x^2}\) sau đó sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ne 0,\,\,x \ne 1.\)

Vì \(x \ne 0\) nên ta chia cả tử và mẫu cho \({x^2}.\)

\( \Rightarrow P = \frac{{x + 1}}{{{x^2}}} = \frac{{\frac{x}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{{{x^2}}}{{{x^2}}}}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}\)\( = \frac{1}{{{x^2}}} + 2.\frac{1}{x}.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} – \frac{1}{4}\)\( = {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{2}} \right)^2} – \frac{1}{4} \ge \frac{{ – 1}}{4}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x = – \frac{1}{2}.\)

Vậy \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( – \frac{1}{4}\) khi \(x = – \frac{1}{2}.\)

Chọn B.