by Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{a – 1}} + \frac{{3\sqrt a + 5}}{{a\sqrt a – a – \sqrt a + 1}}} \right).\left( {\frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }} – 1} \right)\)
Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức \(P.\)
A \(DK: a > 0 ; a \neq 1 \,\,;\,\, P = \frac{1}{\sqrt{a}}\)
B \(DK: a > 1 \,\,;\,\, P = \frac{1}{2\sqrt{a}}\)
C \(DK: a > 1 \,\,;\,\, P = \frac{1}{\sqrt{a}}\)
D \(DK: a > 0 ; a \neq 1 \,\,;\,\, P = \frac{1}{2\sqrt{a}}\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: A
Phương pháp giải:
+) Xác định điều kiện của biểu thức.
+) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức.
Lời giải chi tiết:
\(P = \left( {\frac{1}{{a – 1}} + \frac{{3\sqrt a + 5}}{{a\sqrt a – a – \sqrt a + 1}}} \right).\left( {\frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }} – 1} \right)\)
Điều kiện : \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\a – 1 \ne 0\\a\sqrt a – a – \sqrt a + 1 \ne 0\\\sqrt a \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\a \ne 1\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{1}{{a – 1}} + \frac{{3\sqrt a + 5}}{{a\sqrt a – a – \sqrt a + 1}}} \right).\left( {\frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }} – 1} \right)\\ = \left( {\frac{1}{{a – 1}} + \frac{{3\sqrt a + 5}}{{a\left( {\sqrt a – 1} \right) – \left( {\sqrt a – 1} \right)}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt a – 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }}\\ = \left( {\frac{1}{{a – 1}} + \frac{{3\sqrt a + 5}}{{\left( {a – 1} \right)\left( {\sqrt a – 1} \right)}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt a – 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }}\\ = \frac{{\sqrt a – 1 + 3\sqrt a + 5}}{{\left( {a – 1} \right)\left( {\sqrt a – 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt a – 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }}\\ = \frac{{4\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right){{\left( {\sqrt a – 1} \right)}^2}}}.\frac{{{{\left( {\sqrt a – 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }} = \frac{1}{{\sqrt a }}.\end{array}\)
Chọn A.
