by Cho biểu thức \(P = \left( {{1 \over {\sqrt x + 1}} – {{2\sqrt x – 2} \over {x\sqrt x – \sqrt x + x – 1}}} \right):\left( {{1 \over {\sqrt x – 1}} – {2 \over {x – 1}}} \right)\)
a. Rút gọn \(P.\)
b.Tính giá trị của \(P\) khi \(x = 7 – 4\sqrt 3. \)
A a)\(P = {{\sqrt x – 1} \over {\sqrt x + 1}}\);
b) \(P={{- \sqrt 3 } \over 3}\)
B a)\(P = {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x – 1}}\);
b) \(P={{3 – 2\sqrt 3 } \over 3}\)
C a)\(P = {{\sqrt x – 1} \over {\sqrt x + 1}}\);
b) \(P={{3 + 2\sqrt 3 } \over 3}\)
D a)\(P = {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x – 1}}\);
b) \(P={{3 + 2\sqrt 3 } \over 3}\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: A
Phương pháp giải:
+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.
+) Biến đổi \(x,\) thay giá trị \(x = 7 – 4\sqrt 3 \,\,\,\left( {tm} \right)\) vào biểu thức \(P\) rồi tính giá trị biểu thức.
Lời giải chi tiết:
a) Rút gọn \(P.\)
Điều kiện: \(x \ge 0;x \ne 1\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} – \frac{{2\sqrt x – 2}}{{x\sqrt x – \sqrt x + x – 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x – 1}} – \frac{2}{{x – 1}}} \right)\\ = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} – \frac{{2\left( {\sqrt x – 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {x – 1} \right) + x – 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x – 1}} – \frac{2}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right)\\ = \left( {\frac{1}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}} – \frac{{2\left( {\sqrt x – 1} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} – \frac{2}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right)\\ = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} – \frac{2}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right):\frac{{\sqrt x – 1}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \frac{{\sqrt x – 1}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x – 1}}\\ = \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}}.\end{array}\)
b) Tính giá trị của P khi \(x = 7 – 4\sqrt 3 \)
Khi \(x = 7 – 4\sqrt 3 = {\left( {2 – \sqrt 3 } \right)^2}\,\,\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {2 – \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {2 – \sqrt 3 } \right| = 2 – \sqrt 3 \)
Ta có: \(P = \frac{{2 – \sqrt 3 – 1}}{{2 – \sqrt 3 + 1}} = \frac{{1 – \sqrt 3 }}{{3 – \sqrt 3 }} = \frac{{\left( {1 – \sqrt 3 } \right)\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{{{3^2} – 3}} = \frac{{ – 2\sqrt 3 }}{6} = \frac{{ – \sqrt 3 }}{3}.\)
