by Cho biết \(\tan \alpha = \frac{2}{3}\). Tính giá trị biểu thức: \(M = \frac{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha – 25{{\cos }^3}\alpha }}\)
A \(M = – \frac{1}{3}\)
B \(M = – 1\)
C \(M = – \frac{{89}}{{459}}\)
D \(M = – \frac{{72}}{{459}}\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: C
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn.
Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right..\)
Lời giải chi tiết:
\(M = \frac{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha – 25{{\cos }^3}\alpha }} = \frac{{\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + 3}}{{\frac{{27{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} – 25}} = \frac{{{{\tan }^3}\alpha + 3}}{{27{{\tan }^3}\alpha – 25}}\)
Thay \(\tan \alpha = \frac{2}{3}\) vào biểu thức \(M\) ta có:
\(M = \frac{{{{\tan }^3}\alpha + 3}}{{27{{\tan }^3}\alpha – 25}} = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3} + 3}}{{27{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3} – 25}} = – \frac{{89}}{{459}}.\)
Chọn C.
