Cho 3 số a, b, c thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\). Tính giá trị biểu thức: \(P = {\left( {a + b} \right)^2} – 2\left[ {{{\left( {a + b – c} \right)}^2} + {{(a + c – b)}^2}} \right]\) A \(P = 1.\) B \(P = 2.\) C \(P = 5.\) D \(P = 0.\)

Cho 3 số a, b, c thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\). Tính giá trị biểu thức:

\(P = {\left( {a + b} \right)^2} – 2\left[ {{{\left( {a + b – c} \right)}^2} + {{(a + c – b)}^2}} \right]\)

A \(P = 1.\)

B \(P = 2.\)

C \(P = 5.\)

D \(P = 0.\)

Hướng dẫn Chọn đáp án là: D

Phương pháp giải:

Từ giả thiết tìm mối liên hệ giữa a,b,c thay vào tính P

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) – 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} – 2ca + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} – 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} – 2bc + {c^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a – c} \right)^2} + {\left( {b – c} \right)^2} + {\left( {c – a} \right)^2} = 0\\Do\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a – c} \right)^2} \ge 0\\{\left( {b – c} \right)^2} \ge 0\\{\left( {c – a} \right)^2} \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {a – c} \right)^2} + {\left( {b – c} \right)^2} + {\left( {c – a} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow a = b = c\end{array}\)

Thay vào P ta có \(P = {\left( {a + b} \right)^2} – 2\left[ {{{\left( {a + b – c} \right)}^2} + {{(a + c – b)}^2}} \right] = {\left( {a + a} \right)^2} – 2\left[ {{a^2} + {a^2}} \right] = 0\)

Vậy \(P = 0.\)