by Biết rằng parabol \(y = \frac{1}{{24}}{x^2}\) chia hình giới hạn bởi elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) thành hai phần có diện tích lần lượt là \({S_1},\,\,{S_2}\) với \({S_1} < {S_2}\). Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) bằng:
A. \(\frac{{4\pi + \sqrt 3 }}{{8\pi – \sqrt 3 }}\)
B. \(\frac{{4\pi – \sqrt 2 }}{{8\pi + \sqrt 2 }}\)
C. \(\frac{{4\pi – \sqrt 2 }}{{12\pi }}\)
D.
\(\frac{{8\pi – \sqrt 3 }}{{12\pi }}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right),\,\,x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Parabol \(y = \frac{1}{{24}}{x^2}\) chia hình giới hạn bởi elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt {1 – \frac{{{x^2}}}{{16}}} \) thành hai phần có diện tích lần lượt là \({S_1},\,\,{S_2}\,\,\left( {{S_1} < {S_2}} \right)\)được kí hiệu như hình vẽ.
Xét phương trình hoành độ giao điểm
\(\frac{1}{{24}}{x^2} = \sqrt {1 – \frac{{{x^2}}}{{16}}} \Leftrightarrow \frac{{{x^4}}}{{576}} = 1 – \frac{{{x^2}}}{{16}} \Leftrightarrow {x^2} = 12 \Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt 3 \).
Khi đó ta có: \({S_1} = \int\limits_{ – 2\sqrt 3 }^{2\sqrt 3 } {\left( {\sqrt {1 – \frac{{{x^2}}}{{16}}} – \frac{1}{{24}}{x^2}} \right)dx} \approx 4,766\).
Diện tích elip là \({S_{\left( E \right)}} = \pi ab = \pi .4.1 = 4\pi \Rightarrow {S_2} = {S_{\left( E \right)}} – {S_1} = 7,8\).
Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} \approx 0,6123\).
Chọn A
