by Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Diện tích hai phần \(A\) và \(B\) lần lượt là \(\frac{{16}}{3}\) và \(\frac{{63}}{4}.\) Tính \(\int\limits_{ – 1}^{\frac{3}{2}} {f\left( {2x + 1} \right)dx} \).
A. \(\frac{{253}}{{12}}\)
B. \(\frac{{253}}{{24}}\)
C. \( – \frac{{125}}{{24}}\)
D. \( – \frac{{125}}{{12}}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp đổi biến số để đưa tích phân về biến \(t.\)
Sử dụng công thức \(\int\limits_a^c {f\left( x \right)d} x = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} \).
Lời giải chi tiết:
Xét \(\int\limits_{ – 1}^{\frac{3}{2}} {f\left( {2x + 1} \right)dx} \). Đặt \(2x + 1 = t \Leftrightarrow 2dx = dt \Leftrightarrow dx = \frac{{dt}}{2}\).
Đổi cận:\(\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 \Rightarrow t = – 1\\x = \frac{3}{2} \Rightarrow t = 4\end{array} \right.\).
Khi đó ta có \(\int\limits_{ – 1}^{\frac{3}{2}} {f\left( {2x + 1} \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{ – 1}^4 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_{ – 1}^4 {f\left( x \right)dx} \)\( = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} } \right)\)
Từ hình vẽ ta có \(\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)dx} = \frac{{16}}{3};\,\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = – \frac{{63}}{4}\)
Nên \(\int\limits_{ – 1}^{\frac{3}{2}} {f\left( {2x + 1} \right)dx} = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{16}}{3} – \frac{{63}}{4}} \right) = – \frac{{125}}{{24}}\)
Chọn C.
