by Cho đường thẳng \(y = \frac{3}{2}x\) và parabol \(y = {x^2} + a\) (\(a\) là tham số thực dương). Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi \({S_1} = {S_2}\) thì \(a\) thuộc khoảng nào dưới đây ?
A. \(\left( {\frac{1}{2};\frac{9}{{16}}} \right
B. \(\left( {\frac{2}{5};\frac{9}{{20}}} \right).\)
C. \(\left( {\frac{9}{{20}};\frac{1}{2}} \right).\)
D. \(\left( {0;\frac{2}{5}} \right).\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right);\,\,y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} \)
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} + a = \frac{3}{2}x \Leftrightarrow 2{x^2} – 3x + 2a = 0\,\,\left( * \right)\).
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta = 9 – 8a > 0 \Leftrightarrow a < \frac{9}{8}\).
Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow 0 < a < \frac{9}{8}\).
Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là 2 nghiệm của phương trình (*). Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}{S_1} = \int\limits_0^{{x_1}} {\left( {{x^2} + a – \frac{3}{2}x} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + ax – \frac{{3{x^2}}}{4}} \right)} \right|_0^{{x_1}} = \frac{{x_1^3}}{3} + a{x_1} – \frac{{3x_1^2}}{4}\\{S_2} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\frac{3}{2}x – {x^2} – a} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{3{x^2}}}{4} – \frac{{{x^3}}}{3} – ax} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}} = \left( {\frac{{3x_2^2}}{4} – \frac{{x_2^3}}{3} – a{x_2}} \right) – \left( {\frac{{3x_1^2}}{4} – \frac{{x_1^3}}{3} – a{x_1}} \right)\end{array}\)
Theo bài ra ta có: \({S_1} = {S_2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{x_1^3}}{3} + a{x_1} – \frac{{3x_1^2}}{4} = \left( {\frac{{3x_2^2}}{4} – \frac{{x_2^3}}{3} – a{x_2}} \right) – \left( {\frac{{3x_1^2}}{4} – \frac{{x_1^3}}{3} – a{x_1}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{3x_2^2}}{4} – \frac{{x_2^3}}{3} – a{x_2} = 0 \Leftrightarrow 9x_2^2 – 4x_2^3 – 12a{x_2} = 0\\ \Leftrightarrow {x_2}\left( {4x_2^2 – 9{x_2} + 12a} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_2} = 0\\4x_2^2 – 9{x_2} + 12a = 0\end{array} \right.\end{array}\)
TH1: \({x_2} = 0 \Rightarrow \) Thay vào (*) ta có \(2a = 0 \Leftrightarrow a = 0\,\,\left( {ktm} \right)\).
TH2: \(4x_2^2 – 9{x_2} + 12a = 0\) (1).
Vì \({x_2}\) là nghiệm của (*) nên \(2x_2^2 – 3{x_2} + 2a = 0 \Leftrightarrow 12x_2^2 – 18{x_2} + 12a = 0\) (2).
Trừ vế theo vế của (2) cho (1) ta được \(8x_2^2 – 9{x_2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_2} = 0\\{x_2} = \frac{9}{8}\end{array} \right.\).
Với \({x_2} = 0 \Leftrightarrow 2a = 0 \Leftrightarrow a = 0\,\,\left( {ktm} \right)\).
Với \({x_2} = \frac{9}{8} \Leftrightarrow 2.{\left( {\frac{9}{8}} \right)^2} – 3.\frac{9}{8} + 2a = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{27}}{{64}}\,\,\left( {tm} \right) = 0,421875\).
Vậy \(a \in \left( {\frac{2}{5};\frac{9}{{20}}} \right).\)
Chọn B
