Biết rằng hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {{x}^{3}}=3x+8y(*)\text{ } \\ {{y}^{3}}=3y+8x\text{ (**)} \end{array} \right. $có hai nghiệm $\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right),\left( {{x}_{3}};{{y}_{3}} \right). $ Khi đó, giá trị $P=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+x_{3}^{2}+y_{3}^{2}$ bằng?

Biết rằng hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {{x}^{3}}=3x+8y(*)\text{ } \\ {{y}^{3}}=3y+8x\text{ (**)} \end{array} \right. $có hai nghiệm $\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right),\left( {{x}_{3}};{{y}_{3}} \right). $ Khi đó, giá trị $P=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+x_{3}^{2}+y_{3}^{2}$ bằng?

A. $P=10. $

B. $P=15. $

C. $P=20. $

D. $P=44. $

Hướng dẫn

Lấy (*) trừ (**) vế với vế ta được: ${{x}^{3}}-{{y}^{3}}=-5x+5y\Leftrightarrow (x-y)({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy)+5(x-y)=0$ $\Leftrightarrow (x-y)({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+5)=0\Leftrightarrow (x-y)\text{ }\!\![\!\!\text{ }{{(x+\frac{1}{2}y)}^{2}}+\frac{3}{4}{{y}^{2}}+5]=0(***)$ Do ${{(x+\frac{1}{2}y)}^{2}}+\frac{3}{4}{{y}^{2}}+5>0$ với $\forall x,y$ nên (***)$\Leftrightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y$thay vào (*) ta được: ${{x}^{3}}=3x+8x\Leftrightarrow {{x}^{3}}-11x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=\sqrt{11} \\ x=-\sqrt{11} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=y=0 \\ x=y=\sqrt{11} \\ x=y=-\sqrt{11} \end{array} \right. $ Vậy hệ có 3 nghiệm (0;0); ($\sqrt{11}$;$\sqrt{11}$); $\left( -\sqrt{11};-\sqrt{11} \right)$ $\Rightarrow P=44. $ Chọn đáp án D.