Tháng Ba 28, 2024

Biết phương trình: $x-2+\frac{x+a}{x-1}=a$ có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là nghiệm nguyên. Vậy nghiệm đó là :

Biết phương trình: $x-2+\frac{x+a}{x-1}=a$ có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là nghiệm nguyên. Vậy nghiệm đó là :

A. $-2. $

B. $-1. $

C. $2. $

D. Kết quả khác.

Hướng dẫn

Điều kiện: $x\ne 1. $ Khi đó, phương trình trở thành: $\left( x-2 \right)\left( x-1 \right)+x+a=a\left( x-1 \right)$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+2+x+a-ax+a=0$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( 2+a \right)x+2a+2=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$ $\Delta ={{\left( 2+a \right)}^{2}}-4\left( 2a+2 \right)={{a}^{2}}-4a-4. $ TH1: $\Delta =0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4a-4=0\Leftrightarrow a=2\pm 2\sqrt{2}$ Với $a=2+2\sqrt{2}$ thì phương trình có nghiệm kép: $x=\frac{2+a}{2}=2+\sqrt{2}\notin \mathbb{Z}$ Với $a=2-\sqrt{2}$ thì phương trình có nghiệm kép: $x=\frac{2+a}{2}=2-\sqrt{2}\notin \mathbb{Z}$ TH2: $\Delta >0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4a-4>0. $ Khi đó, để phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình có $2$ nghiệm phân biệt và một nghiệm bằng $1. $ $\Rightarrow 1-2-a+2a+2=0\Leftrightarrow a=-1. $ Với $a=-1\Rightarrow $ $\left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=1 \end{array} \right. $ Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất $x=0. $ Chọn đáp án D.