Tháng Sáu 8, 2023

(2 điểm) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Trên \(BC\) lấy điểm \(M\) sao cho \(CM = CA\) . Đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(CA\) cắt \(AB\) tại \(I\). a) Tứ giác \(ACMI\) là hình gì ? b) So sánh \(AB + AC\) và \( AH + BC\) .

(2 điểm) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Trên \(BC\) lấy điểm \(M\) sao cho \(CM = CA\) . Đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(CA\) cắt \(AB\) tại \(I\).

a) Tứ giác \(ACMI\) là hình gì ?

b) So sánh \(AB + AC\) và \( AH + BC\) .

A. \(AB + AC > AH + BC\)

B. \(AB + AH= AC + BC\)

C. \(AB + AC = AH + BC\)

D. \(AB + AC < AH + BC\)

Hướng dẫn Chọn đáp án là: D

Lời giải chi tiết:

a) Tứ giác \(ACMI\) có \(MI//AC\left( {gt} \right)\) và \(\hat A = 90^\circ (gt)\) nên là hình thang vuông.

b) Xét tam giác \(AMC\) có \(CM = AC(gt)\) nên tam giác \(AMC\) cân tại \(C\).

Suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {AMC}(1)\)

Xét tam giác \(AMH\) có : \(\widehat {MAH} = 90^\circ \widehat { – AMH}\) (hai góc phụ nhau)(2)

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\): \(\widehat {MAB} = \widehat {BAC} – \widehat {MAC} = 90^\circ – \widehat {MAC}\) (phụ nhau)(3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra: \(\widehat {MAH} = \widehat {MAB} \Rightarrow \widehat {MAH} = \widehat {MAI}\)

Xét hai tam giác vuông \(\Delta AHM\) và \(\Delta AIM\) có:

\(AM\) cạnh chung

\(\widehat {MAH} = \widehat {MAI}\) (cmt)

\( \Rightarrow \;\Delta AHM = \Delta AIM\) ( cạnh huyền-góc nhọn)

\( \Rightarrow AH = AI\) ( hai cạnh tương ứng)

Lại có: \(MI\parallel AC(gt),AC \bot AB(gt) \Rightarrow MI \bot AB\)

Do đó \(BI < BM(4)\) ( quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Mặt khác:

\(AC = CM(gt)(5)\)

\(AI = AH(cmt)(6)\)

Cộng (6),(4),(5) vế theo vế ta được:

\(AI + BI + AC < AH + BM + CM\)

\( \Rightarrow AB + AC < AH + BC\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.