by (2 điểm) Cho tam giác \(ABC\). Các tia phân giác của các góc \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(I\). Qua \(I\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\), cắt các cạnh \(AB,AC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\).
a) Chứng minh các tứ giác \(BDIC,BIEC,BDEC\) là hình thang
b) Chứng minh: \(DE = BD + CE\) .
A. \(DE + BD = CE\)
B. \(DE = BD + CE\)
C. \(DE > BD + CE\)
D. \(DE < BD + CE\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: B
Lời giải chi tiết:
a) Xét tứ giác \(DECB\) có: \(DE//BC\) (gt) nên tứ giác \(DECB\) là hình thang.
Tương tự :
Tứ giác \(DICB\) có \(DI//BC\) (gt) nên tứ giác \(DICB\) là hình thang
Tứ giác \(IECB\) có \(IE//CB\) (gt) nên tứ giác \(IECB\) là hình thang.
b) Ta sẽ chứng minh: \(DE = BD + CE\) .
Thật vậy,
Vì \(DE//BC\) (gt) nên suy ra \(\widehat {DIB} = \widehat {IBC}\) ( so le trong)
Mà \(\widehat {DBI} = \widehat {IBC}\) (gt) nên \(\widehat {DIB} = \widehat {DBI}\)
Suy ra tam giác \(BDI\) cân đỉnh \(D\).
Do đó \(DI = DB(1)\)
Ta có: \(IE//CB\) nên suy ra \(\widehat {EIC} = \widehat {BCI}\) ( so le trong)
Mà \(\widehat {BCI} = \widehat {ECI}\) (gt) nên \(\widehat {ECI} = \widehat {EIC}\)
Suy ra tam giác \(EIC\) cân đỉnh \(E\).
Do đó \(EI = EC(2)\).
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
\(DI + EI = BD + CE \Rightarrow DE = BD + CE\)
Vậy hình thang \(BDEC\) có một cạnh đáy bằng tổng hai cạnh bên.
