Tháng Ba 28, 2024

Xác định giá trị của m để hàm số \(f\left( x \right)=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x\) đồng biến trên khoảng (0; 3).

Xác định giá trị của m để hàm số \(f\left( x \right)=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x\) đồng biến trên khoảng (0; 3).

A. \(m\ge \frac {12}{7}\)

B. \(m > \frac {12}{7}\)

C. \(m\le \frac {12}{7}\)

D. \(m= \frac {12}{7}\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

– Hàm số đồng biến trên \(\left( {0;3} \right) \Leftrightarrow y’ \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Để hàm số đồng biến trên (0;3) thì \(y’ = – {x^2} + 2\left( {m – 1} \right)x + m + 3 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\)

\(\begin{array}{l}

\Rightarrow m\left( {2x + 1} \right) \ge {x^2} + 2x – 3\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\\

\Leftrightarrow m \ge \frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{2x + 1}} = f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\,\,\left( {Do\,\,2x + 1 > 0\,\forall x \in \left( {0;3} \right)} \right)\\

\Rightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right)

\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}

f’\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {2x + 1} \right) – 2\left( {{x^2} + 2x – 3} \right)}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\\

f’\left( x \right) = \frac{{4{x^2} + 6x + 2 – 2{x^2} – 4x + 6}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\\

f’\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 2x + 8}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\\

\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = \frac{{12}}{7}\\

\Rightarrow m \ge \frac{{12}}{7}

\end{array}\)

Chọn A.