Xác định giá trị của m để hàm số \(f\left( x \right)=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x\) đồng biến trên khoảng (0; 3).
A. \(m\ge \frac {12}{7}\)
B. \(m > \frac {12}{7}\)
C. \(m\le \frac {12}{7}\)
D. \(m= \frac {12}{7}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Hàm số đồng biến trên \(\left( {0;3} \right) \Leftrightarrow y’ \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Để hàm số đồng biến trên (0;3) thì \(y’ = – {x^2} + 2\left( {m – 1} \right)x + m + 3 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow m\left( {2x + 1} \right) \ge {x^2} + 2x – 3\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\\
\Leftrightarrow m \ge \frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{2x + 1}} = f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\,\,\left( {Do\,\,2x + 1 > 0\,\forall x \in \left( {0;3} \right)} \right)\\
\Rightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right)
\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
f’\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {2x + 1} \right) – 2\left( {{x^2} + 2x – 3} \right)}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\\
f’\left( x \right) = \frac{{4{x^2} + 6x + 2 – 2{x^2} – 4x + 6}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\\
f’\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 2x + 8}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\\
\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = \frac{{12}}{7}\\
\Rightarrow m \ge \frac{{12}}{7}
\end{array}\)
Chọn A.