: Xác định số hạng không phụ thuộc vào $x$ khi khai triển biểu thức ${{\left[ \frac{1}{x}-\left( x+{{x}^{2}} \right) \right]}^{n}}$ với n là số nguyên dương thoả mãn $C_{n}^{3}+2n=A_{n+1}^{2}$.( $C_{n}^{k},\,\,A_{n}^{k}$ tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử).

: Xác định số hạng không phụ thuộc vào $x$ khi khai triển biểu thức ${{\left[ \frac{1}{x}-\left( x+{{x}^{2}} \right) \right]}^{n}}$ với n là số nguyên dương thoả mãn

$C_{n}^{3}+2n=A_{n+1}^{2}$.( $C_{n}^{k},\,\,A_{n}^{k}$ tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử).

C. -98

B. 98

C. -96

D. 96

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có:$C_{n}^{3}+2n=A_{n+1}^{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

n\ge 3 \\

\frac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{6}+2n=\left( n+1 \right)n \\

\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

n\ge 3 \\

{{n}^{2}}-9n+8=0 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow n=8$.

Theo nhị thức Newton ta có:

${{\left[ \frac{1}{x}-\left( x+{{x}^{2}} \right) \right]}^{8}}={{\left[ \frac{1}{x}-x\left( 1+x \right) \right]}^{8}}=C_{8}^{0}\frac{1}{{{x}^{8}}}-C_{8}^{1}\frac{1}{{{x}^{6}}}\left( 1+x \right)+$

$+C_{8}^{2}\frac{1}{{{x}^{4}}}{{\left( 1+x \right)}^{2}}-C_{8}^{3}\frac{1}{{{x}^{2}}}{{\left( 1+x \right)}^{3}}+C_{8}^{4}{{\left( 1+x \right)}^{4}}-…+C_{8}^{8}{{x}^{8}}{{\left( 1+x \right)}^{8}}$

Số hạng không phụ thuộc vào $x$ chỉ có trong hai biểu thức

$-C_{8}^{3}\frac{1}{{{x}^{2}}}{{\left( 1+x \right)}^{3}}\,$ và $C_{8}^{4}{{\left( 1+x \right)}^{4}}$.

Trong đó có hai số hạng không phụ thuộc vào $x$ là: $-C_{8}^{3}.C_{3}^{2}$ và $C_{8}^{4}.C_{4}^{0}$

Do đó số hạng không phụ thuộc vào x là: $-C_{8}^{3}.C_{3}^{2}+C_{8}^{4}.C_{4}^{0}=-98$.