: Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ trong khai triển nhị thức Niutơn của ${{\left( \frac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{5}}} \right)}^{n}}$ biết $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7\left( n+3 \right)$.

: Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ trong khai triển nhị thức Niutơn của ${{\left( \frac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{5}}} \right)}^{n}}$ biết $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7\left( n+3 \right)$.

C. 495

B. 313

C. 1303

D. 13129

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có:

$C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7\left( n+3 \right)\Leftrightarrow \left( C_{n+3}^{n}+C_{n+3}^{n+1} \right)-C_{n+3}^{n}=7\left( n+3 \right)$

$\Leftrightarrow C_{n+3}^{n+1}=7\left( n+3 \right)\Leftrightarrow \frac{\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}{2!}=7\left( n+3 \right)$

$\Leftrightarrow n+2=7.2!=14\Leftrightarrow n=12$.

Khi đó: ${{\left( \frac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{5}}} \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left( {{x}^{-3}} \right)}^{k}}.{{\left( {{x}^{\frac{5}{2}}} \right)}^{12-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{x}^{\frac{60-11k}{2}}}}$.

Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với $k$ thỏa: $\frac{60-11k}{2}=8\Leftrightarrow k=4$.

Do đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ là: $C_{12}^{4}=\frac{12!}{4!\left( 12-4 \right)!}=495$.