Tổng của giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x+\sin x\cos x$ là

Tổng của giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x+\sin x\cos x$ là

C. $\frac{9}{8}$

B. $\frac{5}{4}$

C. $1$

D. $\frac{4}{3}$

Hướng dẫn

Đáp án A.

$y={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x+\sin x\cos x\Leftrightarrow y=1-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x+\sin x\cos x$

$\begin{align}

& \Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x+\frac{1}{2}\sin 2x\Leftrightarrow y=1-\frac{1}{2}\left[ {{\left( \sin 2x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-\frac{1}{4} \right] \\

& \Leftrightarrow y=\frac{9}{8}-\frac{1}{2}{{(\sin 2x-\frac{1}{2})}^{2}}\le \frac{9}{8} \\

\end{align}$

Dấu bằng xảy ra khi $\sin 2x=\frac{1}{2}$