Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\sqrt {3 – {x^2}} dx} \)

Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\sqrt {3 – {x^2}} dx} \)

A. \(I = {{3\pi } \over 2}\)

B. \(I = {{3\pi } \over 4}\)

C. \(I = {{\pi \sqrt 3 } \over 2}\)

D. \(I = {{\pi \sqrt 4 } \over 3}\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là B

Phương pháp giải:

Đặt \(x = \sqrt 3 \sin t\) (hoặc \(x = \sqrt 3 \cos t\))

Lời giải chi tiết:

Đặt \(x = \sqrt 3 \sin t \Leftrightarrow dx = \sqrt 3 \cos tdt\), đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = 0 \Rightarrow t = 0 \hfill \cr x = \sqrt 3 \Rightarrow t = {\pi \over 2} \hfill \cr} \right.\), khi đó ta có:

\(\eqalign{ & I = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\sqrt {3 – 3{{\sin }^2}t} .\sqrt 3 \cos tdt} = 3\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos }^2}tdt} \cr & = 3\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{1 + \cos 2t} \over 2}dt} = \left. {{3 \over 2}\left( {t + {{\sin 2t} \over 2}} \right)} \right|_0^{{\pi \over 2}} = {3 \over 2}.{\pi \over 2} = {{3\pi } \over 4} \cr} \)

Chọn B.