Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\) và \(\int\limits_0^3 {f\left( {\sqrt {x + 1} } \right)dx} = 8\). Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {xf\left( x \right)dx} \)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\) và \(\int\limits_0^3 {f\left( {\sqrt {x + 1} } \right)dx} = 8\). Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {xf\left( x \right)dx} \)

A. \(I = 2\)

B. \(I = 8\)

C. \(I = 4\)

D. \(I = 16\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là C

Phương pháp giải:

Từ \(\int\limits_0^3 {f\left( {\sqrt {x + 1} } \right)dx} = 8\), đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {x + 1} \).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {x + 1} \Leftrightarrow {t^2} = x + 1 \Leftrightarrow 2tdt = dx\), đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = 0 \Rightarrow t = 1 \hfill \cr x = 3 \Rightarrow t = 2 \hfill \cr} \right.\), khi đó ta có:

\(I = \int\limits_1^2 {f\left( t \right)2tdt} = 2\int\limits_1^2 {xf\left( x \right)dx} = 8 \Leftrightarrow I = \int\limits_1^2 {xf\left( x \right)dx} = 4\).

Chọn C.