Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 1

I. PHƯƠNG PHÁP

Để tính tích phân: $I = \int\limits_a^b {g(x)dx} $ ta thực hiện các bước:

Bước 1: Chọn biến số:

  • Phân tích $g(x)dx = f[u(x)]u'(x)dx$ $= f[u(x)]d[u(x)].$
  • Đặt $u = u(x).$

Bước 2: Thực hiện phép đổi cận:

  • Với $x = a$ thì $u = u(a).$
  • Với $x = b$ thì $u = u(b).$

Bước 3: Khi đó: $\int\limits_a^b {g(x)dx} $ $ = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du} .$

II. VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a. $\int\limits_0^1 {{x^3}{{(1 + {x^4})}^3}dx} .$

b. $\int\limits_0^1 {\frac{{5xdx}}{{{{({x^2} + 4)}^2}}}} .$

Giải

a. Đặt $u = 1 + x^4$, suy ra $du = 4x^3dx.$

Đổi cận: Với $x = 0$ thì $u = 1$, với $x = 1$ thì $u = 2.$

Từ đó: $\int\limits_0^1 {{x^3}{{(1 + {x^4})}^3}dx} $ $= \frac{1}{4}\int\limits_1^2 {{u^3}du} $ $ = \frac{1}{{16}}\left. {{u^4}} \right|_1^2$ $ = \frac{{15}}{{16}}.$

b. Đặt $u = x^2 + 4$, suy ra $du = 2xdx.$

Đổi cận: Với $x = 0$ thì $u = 4$, với $x = 1$ thì $u = 5.$

Từ đó: $\int\limits_0^1 {\frac{{5x}}{{{{({x^2} + 4)}^2}}}dx} $ $ = \frac{5}{2}\int\limits_4^5 {\frac{{du}}{{{u^2}}}} $ $ = \left. { – \frac{5}{{2u}}} \right|_4^5$ $ = \frac{1}{8}.$

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:

a. $\int\limits_0^{\pi /6} {(1 – \cos 3x)\sin 3xdx} .$

b. $\int\limits_0^{\pi /4} {\frac{{\tan x.dx}}{{{{\cos }^2}x}}} .$

Giải

a. Đặt $u = 1 – cos3x$, suy ra $du = 3sin3x.dx.$

Đổi cận: Với $x = 0$ thì $u = 0$, với $x = \frac{\pi }{6}$ thì $u = 1.$

Từ đó: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {(1 – \cos 3x)\sin 3xdx} $ $ = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {udu} $ $ = \frac{1}{6}{u^2}\left| {_0^1} \right.$ $ = \frac{1}{6}.$

b. Đặt $u = tanx$, suy ra $du = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}.$
Đổi cận: Với $x = 0$ thì $u = 0$, với $x = \frac{\pi }{4}$ thì $u = 1.$
Từ đó: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} $ $ = \int\limits_0^1 {udu} $ $ = \frac{1}{2}{u^2}\left| {_0^1} \right.$ $ = \frac{1}{2}.$

Ví dụ 3: Tính các tích phân sau:
a. $\int\limits_0^{\sqrt 3 } {x\sqrt {1 + {x^2}} dx} .$

b. $\int\limits_0^{\sqrt 3 } {{x^5}\sqrt {1 + {x^2}} } dx.$

Giải

a. Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Đặt $u = \sqrt {{x^2} + 1} $, suy ra: $u^2 = x^2 + 1$ $⇒ 2udu = 2xdx$ $⇒ udu = xdx.$

Đổi cận: Với $x = 0$ thì $u = 1$, với $x = \sqrt 3 $ thì $u = 2.$

Từ đó: $\int\limits_0^{\sqrt 3 } {x\sqrt {1 + {x^2}} dx} $ $ = \int\limits_1^2 {{u^2}du} $ $ = \frac{1}{3}\left. {{u^3}} \right|_1^2$ $ = \frac{7}{3}.$

Cách 2: Đặt $u = x^2 + 1$, suy ra $du = 2xdx.$

Đổi cận: Với $x = 0$ thì $u = 1$, với $x = \sqrt 3 $ thì $u = 4.$

Từ đó: $\int\limits_0^{\sqrt 3 } {x\sqrt {1 + {x^2}} dx} $ $ = \frac{1}{2}\int\limits_1^4 {\sqrt u du} $ $ = \frac{1}{3}\left. {{u^{3/2}}} \right|_1^4$ $ = \frac{7}{3}.$

Cách 3: Thực hiện phép biến đổi:
$\int\limits_0^{\sqrt 3 } {x\sqrt {1 + {x^2}} dx} $ $ = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\sqrt 3 } {\sqrt {1 + {x^2}} d(1 + {x^2})} $ $ = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\sqrt 3 } {{{(1 + {x^2})}^{\frac{1}{2}}}d(1 + {x^2})} $ $ = \frac{1}{3}\left. {{{(1 + {x^2})}^{3/2}}} \right|_0^{\sqrt 3 }$ $ = \frac{7}{3}.$
b. Đặt $u = \sqrt {1 + {x^2}} $ $⇔ u^2 = 1 + x^2$ $⇔ 2udu = 2xdx.$
Đổi cận: Với $x = 0$ thì $u = 1$, với $x = \sqrt 3 $ thì $u = 2.$
Khi đó: $\int\limits_0^{\sqrt 3 } {{x^5}\sqrt {1 + {x^2}} } dx$ $ = \int\limits_1^2 {{{({u^2} – 1)}^2}{u^2}} du$ $ = \int\limits_1^2 {({u^6} – 2{u^4} + {u^2})} du$ $ = \left( {\frac{1}{7}{u^7} – \frac{2}{5}{u^5} + \frac{1}{3}{u^3}} \right) \left| \begin{array}{l}
2\\
1
\end{array} \right.$ $ = \frac{{848}}{{105}}.$

Ví dụ 4: Tính tích phân: $I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{e^{2x}} + 3}}} .$

Giải

Đặt $u = e^{2x} + 3$, suy ra $du = 2e^{2x}dx = 2(u – 3)dx$ $⇔ dx = \frac{{du}}{{2(u – 3)}}.$

Đổi cận: Với $x = 0$ thì $u = 4$, với $x = 1$ thì $u = e^2 + 3.$

Từ đó: $I = \frac{1}{2}\int\limits_4^{{e^2} + 3} {\frac{{du}}{{u(u – 3)}}} $ $ = \frac{1}{6}\int\limits_4^{{e^2} + 3} {\left( {\frac{1}{{u – 3}} – \frac{1}{u}} \right)du} $ $ = \frac{1}{6}\left. {\left( {\ln \left| {u – 3} \right| – \ln \left| u \right|} \right)} \right|_4^{{e^2} + 3}$ $ = \frac{1}{6}\left. {\ln \left| {\frac{{u – 3}}{u}} \right|} \right|_4^{{e^2} + 3}$ $= \frac{1}{6}\ln \frac{{4{e^2}}}{{{e^2} + 3}}.$