by Tính giá trị của A= \(\frac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + … + \frac{1}{{2018\sqrt {2017} + 2017\sqrt {2018} }}\)
A \(A=1-\frac{2}{\sqrt{2018}}\)
B \(A=1-\frac{1}{\sqrt{2028}}\)
C \(A=1-\frac{1}{\sqrt{2015}}\)
D \(A=1-\frac{1}{\sqrt{2018}}\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: D
Phương pháp giải:
\(\frac{1}{{k\sqrt {k – 1} + \left( {k – 1} \right)\sqrt k }} = \frac{1}{{\sqrt {k – 1} }} – \frac{1}{{\sqrt k }}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(k\sqrt {k – 1} + \left( {k – 1} \right)\sqrt k \, = \sqrt {k\left( {k – 1} \right)} \left( {\sqrt k + \sqrt {k – 1} } \right)\) với \(k \ge 1\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{k\sqrt {k – 1} + \left( {k – 1} \right)\sqrt k }} = \frac{1}{{\sqrt {k\left( {k – 1} \right)} \left( {\sqrt k + \sqrt {k – 1} } \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt k – \sqrt {k – 1} } \right)}}{{\sqrt {k\left( {k – 1} \right)} \left( {\sqrt k + \sqrt {k – 1} } \right)\left( {\sqrt k – \sqrt {k – 1} } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt k – \sqrt {k – 1} }}{{\sqrt {k\left( {k – 1} \right)} }} = \frac{{\sqrt k – \sqrt {k – 1} }}{{\sqrt k .\sqrt {k – 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {k – 1} }} – \frac{1}{{\sqrt k }}\end{array}\)
Thay lại vào A ta được:
\(\begin{array}{l}A = \frac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + … + \frac{1}{{2018\sqrt {2017} + 2017\sqrt {2018} }}\\\,\,\,\,\, = \,\left( {\frac{1}{{\sqrt 1 }} – \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} – \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + ….. + \left( {\frac{1}{{\sqrt {2017} }} – \frac{1}{{\sqrt {2018} }}} \right)\\\,\,\,\,\, = 1 – \frac{1}{{\sqrt {2018} }}\end{array}\)
