by Tính giá trị biểu thức \(A = \frac{1}{{1 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }} + \frac{1}{{\sqrt 5 + \sqrt 7 }} + … + \frac{1}{{\sqrt {2019} + \sqrt {2021} }}\)
A \(1 – \sqrt {2021} \)
B \(\sqrt {2021} – 1\)
C \(\frac{{\sqrt {2021} – 1}}{2}\)
D \(\frac{{\sqrt {2019} – 1}}{2}\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: C
Phương pháp giải:
– Áp dụng: \(\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} = \frac{{\sqrt a – \sqrt b }}{{a – b}}\) với \(a > b\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \frac{1}{{1 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }} + \frac{1}{{\sqrt 5 + \sqrt 7 }} + … + \frac{1}{{\sqrt {2019} + \sqrt {2021} }}\\ = \frac{{\sqrt 3 – 1}}{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}} + \frac{{\sqrt 5 – \sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5 – \sqrt 3 } \right)}} + ……. + \frac{{\sqrt {2021} – \sqrt {2019} }}{{\left( {\sqrt {2019} + \sqrt {2021} } \right)\left( {\sqrt {2021} – \sqrt {2019} } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt 3 – 1}}{{3 – 1}} + \frac{{\sqrt 5 – \sqrt 3 }}{{5 – 3}} + ……. + \frac{{\sqrt {2021} – \sqrt {2019} }}{{2021 – 2019}}\\ = \frac{{\sqrt 3 – 1}}{2} + \frac{{\sqrt 5 – \sqrt 3 }}{2} + …… + \frac{{\sqrt {2021} – \sqrt {2019} }}{2}\\ = \frac{{\sqrt 3 – 1 + \sqrt 5 – \sqrt 3 + ……. + \sqrt {2021} – \sqrt {2019} }}{2}\\ = \frac{{\sqrt {2021} – 1}}{2}.\end{array}\)
Chọn C.
