Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC$ biết $ AB=c$ và $ \cos \left( A+B \right)=\frac{1}{3}$

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC$ biết $ AB=c$ và $ \cos \left( A+B \right)=\frac{1}{3}$

A. $ \frac{c\sqrt{2}}{2}. $

B. $ \frac{3c\sqrt{2}}{8}. $

C. $ \frac{9c\sqrt{2}}{8}. $

D. $ \frac{3c}{2}. $

Hướng dẫn

Tổng ba góc trong tam giác bằng $ {{180}^{0}}\Rightarrow A+B+C={{180}^{0}}\Rightarrow C={{180}^{0}}-\left( A+B \right)$

$ \Rightarrow \cos C=-\cos \left( A+B \right)=-\frac{1}{3}. $

Áp dụng công thức: $ {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Rightarrow {{\sin }^{2}}C=1-{{\cos }^{2}}C=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$

$ 0<C<{{180}^{0}}\Rightarrow \sin C>0\Rightarrow \sin C=\frac{2\sqrt{2}}{3}. $

Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có:

$ \frac{C}{\sin C}=2R\Rightarrow \frac{AB}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\frac{AB}{2\sin C}=\frac{c}{2. \frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{3c\sqrt{2}}{8}. $

Chọn đáp án B.