by Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC$ biết $ AB=10$ và $ \tan \left( A+B \right)=\frac{1}{3}$
A. $ \frac{5\sqrt{10}}{9}. $
B. $ \frac{10}{3}. $
C. $ \frac{\sqrt{10}}{5}. $
D. $ 5\sqrt{10}. $
Hướng dẫn
Tổng ba góc trong tam giác bằng $ {{180}^{0}}\Rightarrow A+B+C={{180}^{0}}\Rightarrow C={{180}^{0}}-\left( A+B \right)$
$ \Rightarrow \tan C=-\tan \left( A+B \right)=-\frac{1}{3}. $
Áp dụng công thức:
$\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }={{\tan }^{2}}\alpha +1\Rightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\tan }^{2}}\alpha +1}\Rightarrow {{\cos }^{2}}C=\frac{1}{\frac{1}{9}+1}=\frac{9}{10}$
$ \Rightarrow {{\sin }^{2}}C=1-{{\cos }^{2}}C=1-\frac{9}{10}=\frac{1}{10}$
$ 0<C<{{180}^{0}}\Rightarrow \sin C>0\Rightarrow \sin C=\frac{\sqrt{10}}{10}. $
Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có:
$ \frac{C}{\sin C}=2R\Rightarrow \frac{AB}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\frac{AB}{2\sin C}=\frac{10}{2. \frac{\sqrt{10}}{10}}=5\sqrt{10}. $ Chọn đáp án D.
