Tìm \(x,y,z\) biết rằng: \(\frac{x}{{y + z + 1}} = \frac{y}{{x + z + 1}} = \frac{z}{{x + y – 2}} = x + y + z\)

Tìm \(x,y,z\) biết rằng: \(\frac{x}{{y + z + 1}} = \frac{y}{{x + z + 1}} = \frac{z}{{x + y – 2}} = x + y + z\)

A. \(\left( {x;\,y;\,z} \right) \in \left\{ {\left( {0;\,0;\,0} \right);\,\left( {\frac{1}{2};\,\frac{1}{2};\,\frac{{ – 1}}{2}} \right)} \right\}\)

B. \(\left( {x;\,y;\,z} \right) \in \left\{ {\left( {1;\,1;\,1} \right);\,\left( {\frac{1}{2};\,\frac{1}{2};\,\frac{1}{2}} \right)} \right\}\)

C. \(\left( {x;\,y;\,z} \right) \in \left\{ {\left( {0;\,0;\,0} \right);\,\left( {\frac{{ – 1}}{2};\,\frac{{ – 1}}{2};\,\frac{{ – 1}}{2}} \right)} \right\}\)

D. \(\left( {x;\,y;\,z} \right) \in \left\{ {\left( {1;\,1;\,1} \right);\,\left( {\frac{{ – 1}}{2};\,\frac{{ – 1}}{2};\,\frac{{ – 1}}{2}} \right)} \right\}\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là: A

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

\(\frac{x}{{y + z + 1}} = \frac{y}{{x + z + 1}} = \frac{z}{{x + y – 2}} = x + y + z\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

+) Nếu \(x + y + z = 0\) thì từ \((1)\) suy ra \(x = y = z = 0\) .

+) Nếu \(x + y + z \ne 0\). Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ba tỉ số ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{{y + z + 1}} = \frac{y}{{x + z + 1}} = \frac{z}{{x + y – 2}} = x + y + z\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \Rightarrow x + y + z = \frac{{x + y + z}}{{y + z + 1 + x + z + 1 + x + y – 2}} = \frac{{x + y + z}}{{2.(x + y + z)}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow x + y = \frac{1}{2} – z;\;\;\;x + z = \frac{1}{2} – y;\;\;\;y + z = \frac{1}{2} – x\end{array}\)

Khi đó \((1)\) trở thành:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\frac{x}{{\frac{1}{2} – x + 1}} = \frac{y}{{\frac{1}{2} – y + 1}} = \frac{z}{{\frac{1}{2} – z – 2}} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{x}{{\frac{3}{2} – x}} = \frac{y}{{\frac{3}{2} – y}} = \frac{z}{{ – \frac{3}{2} – z}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = \frac{3}{2} – x\\2y = \frac{3}{2} – y\\2z = – \frac{3}{2} – z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{1}{2}\\z = – \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có hai bộ số \((x,y,z)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán: \((0;0;0)\,\,;\,\,\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}; – \frac{1}{2}} \right)\) .

Chọn A.