by Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số \(y = \frac{{\tan x – 2}}{{m\tan x – 2}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\).
A. \(m\le -1\)
B. \(1\le m\le 2\)
C. \( – 1 \le m \le 2\)
D. \(1 < m \le 2\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
– Hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow y’ \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y’ = \frac{{\left( {m\tan x – 2} \right).\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – \left( {\tan x – 2} \right).m.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{{{\left( {m\tan x – 2} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {m – 1} \right)}}{{{{\cos }^2}x{{\left( {m\tan x – 2} \right)}^2}}}\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\) thì hàm số phải xác định trên \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\) và \(y’ \ge 0\) với \(\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\).
TH1: \(m = 0 \Rightarrow y = – \frac{1}{2}\left( {\tan x – 2} \right)\) là hàm nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\)\( \Rightarrow \)loại \(m = 0\).
TH2: \(m \ne 0\) ta có: \(y = \frac{{\tan x – 2}}{{m\tan x – 2}} = \frac{{\tan x – 2}}{{m\left( {\tan x – \frac{2}{m}} \right)}}\)..hàm số xác định với \(\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\) thì \(\frac{2}{m} \notin \left( {0;1} \right)\) vì khi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\) thì \(\tan x \in \left( {0;1} \right)\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{2}{m} \le 0\\\frac{2}{m} \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\0 < m \le 2\end{array} \right.\).
Ta có: \(y’ > 0 \Leftrightarrow m – 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1\).
Kết hợp với điều kiện ta có hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\) khi \(1 < m \le 2\).
Chọn D.
