by Cho hàm số\(y = – \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {m – 2} \right)x – \frac{1}{3}\). Tìm các giá trị của m để hàm số đã cho đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4.
A. \(\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 3\end{array} \right.\)
B. \(\left[ \begin{array}{l}m = – 2\\m = 3\end{array} \right.\)
C. \(\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =- 3\end{array} \right.\)
D. \(\left[ \begin{array}{l}m = – 2\\m =-3\end{array} \right.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
– Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4 \( \Leftrightarrow \) Hàm số có \(y’ > 0\) và phương trình \(y’ = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=4\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y’ = – {x^2} + 2mx + m – 2\) có \(\Delta ‘ = {m^2} + m – 2\).
Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4 \(\Leftrightarrow y’=0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,{x_2}\) sao cho \(|{x_1} – {x_2}| = 4\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ > 0\\|{x_1} – {x_2}| = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m – 2 > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} = 16\end{array} \right.\)(*).
Theo định lý Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = – m + 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m – 2 > 0\\4{m^2} + 4\left( {m – 2} \right) = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < – 2\\m > 1\end{array} \right.\\{m^2} + m – 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < – 2\\m > 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = – 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = – 3\end{array} \right.\)
Chọn C.
