Tìm tất cả các giá trị nguyên dương nhỏ hơn 5 của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \left( {m – 1} \right){x^2} + \left( {2m – 3} \right)x – \frac{2}{3}\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
A. 5
B.
3
C. 6
D. 4
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
+) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow y’ \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\).
+) Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng \(f\left( x \right) \ge m\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(y’ = {x^2} + 2\left( {m – 1} \right)x + 2m – 3\).
Để hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow y’ \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m – 1} \right)x + 2m – 3 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2m\left( {x + 1} \right) – 2x – 3 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 3 \ge – 2m\left( {x + 1} \right)\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\end{array}\)
Do \(x \in \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow x + 1 > 0 \Leftrightarrow – 2m \le \frac{{{x^2} – 2x – 3}}{{x + 1}} = f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow – 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( x \right)\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – 2x – 3}}{{x + 1}}\) trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\) ta có:
\(f’\left( x \right) = \frac{{\left( {2x – 2} \right)\left( {x + 1} \right) – {x^2} + 2x + 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\)
\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = – 2 \Leftrightarrow – 2m \le – 2 \Leftrightarrow m \ge 1\).
Kết hợp điều kiện đề bài \(m \in Z,\,\,m < 5 \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\).
Chọn D.