. Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{n}}$biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{1}+C_{n}^{3}=13n.$

.

Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{n}}$biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{1}+C_{n}^{3}=13n.$

C. $C_{10}^{6}$.

B. $C_{10}^{5}$.

C. $C_{10}^{10}$.

D. $C_{10}^{3}$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Theo giả thiết ta có: $C_{n}^{1}+C_{n}^{3}=13n\Leftrightarrow n+\frac{n!}{3!\left( n-3 \right)!}=13n\Leftrightarrow n+\frac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{6}=13n\Leftrightarrow n\left( {{n}^{2}}-3n-70 \right)=0\Leftrightarrow n=10$

Khi đó ta có${{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{n}}={{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{k}}{{\left( \frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{10-k}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{x}^{5k-30}}$

Số hạng không chứa$x$ tương ứng với $5k-30=0\Leftrightarrow k=6$. Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển đã cho là$C_{10}^{6}=210$.