. Giả sử có khai triển ${{\left( 1-2x \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$. Tìm${{a}_{5}}$ biết${{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}=71.$

.

Giả sử có khai triển ${{\left( 1-2x \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$. Tìm${{a}_{5}}$ biết${{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}=71.$

C. $672{{x}^{5}}$.

B. $-672$.

C. $-672{{x}^{5}}$.

D. $672$.

Hướng dẫn

Đáp án B.

Ta cần biết công thức tổng quát của ${{a}_{k}}$để thay vào điều kiện ${{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}=71$, rồi sau đó giải ra để tìm $n$. Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có: ${{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}={{\left( 1-2x \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{\left( -2x \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -2 \right)}^{k}}C_{n}^{k}}{{x}^{k}}.$

Do đó ${{a}_{k}}={{\left( -2 \right)}^{k}}C_{n}^{k},\forall k\in \left\{ 0,1,2,…,n \right\}.$. Khi đó theo giả thiết ta có $71={{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}={{\left( -2 \right)}^{0}}C_{n}^{0}+{{\left( -2 \right)}^{1}}C_{n}^{1}+{{\left( -2 \right)}^{2}}C_{n}^{2}=1-2n+2n\left( n-1 \right)\Leftrightarrow {{n}^{2}}-2n-35=0\Leftrightarrow n=7.$ Như vậy${{a}_{5}}={{\left( -2 \right)}^{5}}C_{7}^{5}=-672.$.