by .
Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${{\left( 1+x+\frac{1}{x} \right)}^{n}}$biết $n\ge 2$ là số nguyên dương thỏa mãn $A_{n}^{2}-C_{n+1}^{n-2}=14-14n.$
C. $73789$.
B. $73788$.
C. $72864$.
D. $56232$.
Hướng dẫn
Đáp án A.
Ta có $A_{n}^{2}-C_{n+1}^{n-2}=14-14n\Leftrightarrow n\left( n-1 \right)-\frac{\left( n-1 \right)n\left( n+1 \right)}{6}=14-14n$
$\Leftrightarrow \left( n-1 \right)\left[ n-\frac{n\left( n+1 \right)}{6}+14 \right]=0\Leftrightarrow \left( n-1 \right)\left( {{n}^{2}}-5n-84 \right)=0\Leftrightarrow n=12$vì $n\ge 2$.
Lúc này ta có${{\left( 1+x+\frac{1}{x} \right)}^{n}}={{\left( 1+x+\frac{1}{x} \right)}^{12}}$
Từ công thức tổng quát tam thức Newton ta có với $0\le q\le p\le 12$ thì số hạng tổng quát khi khai triển tam thức ${{\left( 1+x+\frac{1}{x} \right)}^{12}}$là ${{T}_{p}}=C_{12}^{p}C_{p}^{q}{{1}^{12-p}}{{\left( x \right)}^{p-q}}{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{q}}=C_{12}^{p}C_{p}^{q}{{x}^{p-q-q}}=C_{12}^{p}C_{p}^{q}{{x}^{p-2q}}$
Ta có: $p-2q=0\Leftrightarrow p=2q$. Kết hợp với điều kiện ở trên ta có: $\left( p;q \right)\in \left\{ \left( 0;0 \right),\left( 2;1 \right)\left( 4;2 \right),\left( 6;3 \right),\left( 8;4 \right),\left( 10;5 \right),\left( 12;6 \right) \right\}$. Suy ra số hạng không chứa$x$ là $C_{12}^{0}C_{0}^{0}+C_{12}^{2}C_{2}^{1}+C_{12}^{4}C_{4}^{2}+C_{12}^{6}C_{6}^{3}+C_{12}^{8}C_{8}^{4}+C_{12}^{10}C_{10}^{5}+C_{12}^{12}C_{12}^{6}=73789$
