.
Cho khai triển ${{\left( x+2 \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$. Tìm tất cả các giá trị của $n$ để $\max \left\{ {{a}_{0}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},…,{{a}_{n}} \right\}={{a}_{10}}$.
C. $\left\{ 29;30;31;32 \right\}$.
B. $12$.
C. $\left\{ 12;13;14;15 \right\}$.
D. $16$.
Hướng dẫn
Đáp án A
Giả sử $n$ là số nguyên dương sao cho:
$max\left\{ {{a}_{0}},{{a}_{1}},…{{a}_{n}} \right\}={{a}_{10}}$
Theo công thức khai triển newton ta có:
$P\left( x \right)={{\left( x+2 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{x}^{k}}{{2}^{n-k}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}.{{x}^{k}}}{{2}^{k}}.$
$\Rightarrow {{a}_{k}}=C_{n}^{k}{{.2}^{n-k}}\forall k\overline{0,n}$
Ta có:
${{a}_{10}}=max\left\{ {{a}_{0}},{{a}_{1}},…{{a}_{n}} \right\}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{a}_{9}}\le {{a}_{10}} \\
& {{a}_{10}}\ge {{a}_{11}} \\
\end{align} \right.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& C_{n}^{9}{{.2}^{n-9}}\le C_{n}^{10}{{.2}^{n-10}} \\
& C_{n}^{10}{{.2}^{n-10}}\ge C_{n}^{11}{{.2}^{n-11}} \\
\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& \frac{2}{n-9}\le \frac{1}{10} \\
& \frac{1}{11}\le \frac{2}{n-10} \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow 29\le n\le 32$
Các phép biến đổi trên là đương tương nên ta không cần phải thử lại các giá trị trên.
Vậy $n\in \left\{ 29,30,31,32 \right\}$ là tất cả các giá trị thỏa mãn bài toán (thử lại thấy thở mãn).