. Cho $S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)$. Kết quả biểu diễn $S$ theo $n$ là

.

Cho $S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)$. Kết quả biểu diễn $S$ theo $n$ là

C. $S=\frac{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}{4}$.

B. $S=\frac{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}{3}$.

C. $S=\frac{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)\left( n+4 \right)}{4}$.

D. $S=n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)$.

Hướng dẫn

Đáp án A

Cách 1: Ta có

$C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k}+C_{n-1}^{k-1}$

$C_{n-1}^{k}=C_{n-2}^{k}+C_{n-2}^{k-1}$

$C_{n-2}^{k}=C_{n-3}^{k}+C_{n-3}^{k-1}$

$………………………$

$C_{k+1}^{k}=C_{k}^{k}+C_{k}^{k-1}$

$C_{k}^{k}=C_{k-1}^{k}+C_{k-1}^{k-1}$

Cộng các dẳng thức trên vế theo vế ta được:

$C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-2}^{k-1}+…+C_{k}^{k-1}+C_{k-1}^{k-1}$ $\left( * \right)$

Ta có: $1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}$

$=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{\left( k+2 \right)!}{\left( k-1 \right)!}}=6\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{\left( k+2 \right)!}{3!\left( k-1 \right)!}}=6\sum\limits_{k=1}^{n}{C_{k+2}^{3}}$$=6\left( C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+…+C_{n+1}^{3}+C_{n+2}^{3} \right)$.

Áp dụng câu $\left( * \right)$ với $k=4$, thay $n$ bởi $n+3$ ta được:

$C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+…+C_{n+1}^{3}+C_{n+2}^{3}=C_{n+3}^{4}$

Vậy $1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)=$$6C_{n+3}^{4}=\frac{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}{4}$.

Cách 2: Với bài toán này ta có thể dùng máy tính để thử trường hợp riêng.