. Tìm số nguyên dương$n$thỏa mãn$\frac{C_{n}^{1}}{2}-\frac{2C_{n}^{2}}{{{2}^{2}}}+\frac{3C_{n}^{3}}{{{2}^{3}}}-…+{{\left( -1 \right)}^{n-2}}\frac{\left( n-1 \right)C_{n}^{n-1}}{{{2}^{n-1}}}+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}\frac{nC_{n}^{n}}{{{2}^{n}}}=\frac{1}{32}$

.

Tìm số nguyên dương$n$thỏa mãn$\frac{C_{n}^{1}}{2}-\frac{2C_{n}^{2}}{{{2}^{2}}}+\frac{3C_{n}^{3}}{{{2}^{3}}}-…+{{\left( -1 \right)}^{n-2}}\frac{\left( n-1 \right)C_{n}^{n-1}}{{{2}^{n-1}}}+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}\frac{nC_{n}^{n}}{{{2}^{n}}}=\frac{1}{32}$

C. $n=10$.

B. $n=9$.

C. $n=8$.

D. $n=7$.

Hướng dẫn

Đáp án C

Các số hạng của tổng vế trái có dạng:

${{\left( -1 \right)}^{k-1}}\frac{kC_{n}^{k}}{{{2}^{k}}}={{\left( -1 \right)}^{k-1}}\frac{nC_{n-1}^{k-1}}{{{2}^{k}}}=\frac{n}{2}C_{n-1}^{k-1}{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{k-1}}$

Do đó ta có:

$\frac{C_{n}^{1}}{2}-\frac{2C_{n}^{2}}{{{2}^{2}}}+\frac{3C_{n}^{3}}{{{2}^{3}}}-…+{{\left( -1 \right)}^{n-2}}\frac{\left( n-1 \right)C_{n}^{n-1}}{{{2}^{n-1}}}+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}\frac{nC_{n}^{n}}{{{2}^{n}}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k-1}}\frac{kC_{n}^{k}}{{{2}^{k}}}}$

$=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{n}{2}C_{n-1}^{k-1}}{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{k-1}}$$=\frac{n}{2}\sum\limits_{k=1}^{n-1}{C_{n-1}^{k}}{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{k}}=\frac{n}{2}{{\left( -\frac{1}{2}+1 \right)}^{n-1}}=\frac{n}{{{2}^{n}}}$.

Như vậy ta cần dùng số nguyên dương $n$ thỏa mãn:$\frac{n}{{{2}^{n}}}=\frac{1}{32}\Leftrightarrow {{2}^{n-5}}=n\Leftrightarrow n=8$.