. Tìm $m$ để hàm số $y=\frac{3x}{\sqrt{2{{\sin }^{2}}x-m\sin x+1}}$ xác định trên $\mathbb{R}$.

.

Tìm $m$ để hàm số $y=\frac{3x}{\sqrt{2{{\sin }^{2}}x-m\sin x+1}}$ xác định trên $\mathbb{R}$.

C. $m\in \left[ -2\sqrt{2};2\sqrt{2} \right]$.

B. $m\in \left( -2\sqrt{2};2\sqrt{2} \right)$.

C. $m\in \left( -\infty ;-2\sqrt{2} \right)\cup \left( 2\sqrt{2};+\infty \right)$.

D. $m\in \left\{ -2\sqrt{2};2\sqrt{2} \right\}$.

Hướng dẫn

Chọn B.

Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $2{{\sin }^{2}}x-m\sin x+1>0,\forall x\in \mathbb{R}$.

Đặt $t=\sin x$$\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right]$

Lúc này ta đi tìm điều kiện của $m$ để $f\left( t \right)=2{{t}^{2}}-mt+1>0,\forall t\in \left[ -1;1 \right]$

Ta có ${{\Delta }_{t}}={{m}^{2}}-8$

TH 1: ${{\Delta }_{t}}<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8<0$$\Leftrightarrow -2\sqrt{2}<m<2\sqrt{2}$. Khi đó $f\left( t \right)>0,\forall t$ (thỏa mãn).

TH 2: ${{\Delta }_{t}}=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

& m=-2\sqrt{2} \\

& m=2\sqrt{2} \\

\end{align} \right.$

(thử lại thì cả hai trường hợp đều không thỏa mãn).

TH 3: ${{\Delta }_{t}}>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8>0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{align}

& m<-2\sqrt{2} \\

& m>2\sqrt{2} \\

\end{align} \right.$

khi đó tam thức $f\left( t \right)=2{{t}^{2}}-mt+1$ có hai nghiệm phân biệt ${{t}_{1}};{{t}_{2}}\left( {{t}_{1}}<{{t}_{2}} \right)$.

Để $f\left( t \right)>0,\forall t\in \left[ -1;1 \right]$ thì

$\left[ \begin{align}

& {{t}_{1}}\ge 1\Leftrightarrow \frac{m-\sqrt{{{m}^{2}}-8}}{4}\ge 1\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}-8}\ge m-4\left( VN \right) \\

& {{t}_{2}}\le -1\Leftrightarrow \frac{m+\sqrt{{{m}^{2}}-8}}{4}\le -1\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}-8}\le -m-4\left( VN \right) \\

\end{align} \right.$

Vậy $m\in \left( -2\sqrt{2};2\sqrt{2} \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chú ý: Với các bài toán dạng này ta cần chia ba trường hợp để tìm đủ các giá trị của $m$.

Ở bài toán trên trong TH3 đã áp dụng qui tắc xét dấu tam thức bậc hai “trong trái ngoài cùng”. Tức là trong khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với hệ số $a$, còn khoảng hai nghiệm thì trái dấu với hệ số $a$.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC